Порівняння перетворення Фур'є з ДПФ та рядом Фур'є

1.

By Nephilim

2.

Зміст
Визначення………………………………………..…………………………………....3
Подання………………………………………………………………………………..….4
Переходи.…………………………………………………….………………………..….5
Основні властивості..………………………………………………………………7
Властивості симетрії.………………………………………………………….....10
Оператор Фур'є………………………….……………….…………………………..12
Теореми Парсеваля/Планшереля…………………………………….……13
Теорема згортки………………………………………………………………….....14
Теорема кореляції…...…..……………………………………………………......16
Диференціювання та інтегрування………..……………………….….…18
Власні функції (вектори) та значення………….………………….……21
Принцип невизначеності………………………………………………….....24
Інші застосування операцій Фур'є…….………………………………….27
2

3.

Визначення
Узагальнений принцип є розкладанням вихідного
сигналу на спектр в частотної області, за допомогою
скалярного добутку з комплексними гармоніками
набору частот.
Перетворення
Фур'є
(ПФ)
—
перетворює
безперервний нескінченний сигнал, у безперервний
нескінченний спектр.
Ряд Фур'є (тригонометричний) — перетворює
безперервний періодичний сигнал, у дискретний
нескінченний спектр.
Дискретне
перетворення
Фур'є
(ДПФ)
—
перетворює дискретний періодичний сигнал, у
дискретний періодичний спектр.
3

4.

Подання
Вид
Перетворення
Фур'є
Ряд Фур'є
ДПФ
Пряме
Зворотне
Умови
Функції належать
комплексному простору
Лебега L2, їхня норма
кінцева. Хоча бувають і
винятки, наприклад
константи, дельта,
функція Дірака або
сигнали, норма яких
нескінченна.
Функція u у комплексному
просторі L2 на відрізку.
Вектор A у комплексному
просторі Гільберта, норма
очевидно кінцева, хоча
бувають і винятки.
Вектори належать Nвимірній комплексній
множині, природно їх
норма кінцева.
4

5.

Переходи
Перетворення
Фур'є
⇓
Ряд Фур'є
(Викладки скорочені!)