Практичне застосування перетворення Фур’є

1. Практичне застосування перетворення Фур’є

ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ
ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є

2. Власне перетворення фур'є

ВЛАСНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'Є
• Перетворення Фур’є —
інтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змін
ної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа
та аналогічне розкладу у ряд Фур’є
для неперіодичних функцій. Перетворення Фур'є математично
визначається як комплексна функція, що задається інтегралом:
• Обернене перетворення Фур'є задається виразом:
• Aналіз Фур'є це наука, що вивчає яким чином загальні математичні функції можуть б
ути представлені або апроксимовані через
суму більш простих тригонометричних функцій.

3. Трохи про наш світ

ТРОХИ ПРО НАШ СВІТ
Такі тригонометричні функції як синус та косинус
широко поширені в нашому світі. Координати точки на прядильному колесі дорівнюють (x, y) =
(cos (ωt + φ), sin (ωt + φ)), де ω - кутова частота обертання, а φ - кут фази. Найчистіші тони
та найчистіші кольори - синусоїдальні. Рух
маятника майже синусоїдальний, наближення йде до досконалості в межі малих амплітудних рух
ів.
Зі сторони математики причиною, чому синусоїди настільки поширені в природі, є
те, що закони природи зазвичай виражаються як диференціальні рівняння часткових
похідних. Щоразу, коли коефіцієнти диференціалів (які є функціями матеріальних властивостей) к
онстантні у часі та просторі, рівняння мають експоненціальні та синусоїдальні рішення, що відпов
ідають хвилям, що поширюються у всіх напрямках. Зокрема важливим видом хвиль є звукові
хвилі.

4. Звукові хвилі

ЗВУКОВІ ХВИЛІ
Звук, з точки зору фізики - це енергія. Залежно від частоти звукових коливань, рівня гучності,
ритму і гармонії. Як відомо кожному, звуки і звуки музики зокрема, є поздовжніми хвилями. І як
будь-які хвилі, змінюються в замкнутому (або відкритому) просторі на деяку величину.
Паралельно звукові хвилі, в силу своїх параметрів, впливають на простір. Навіть незначні зміни
рівня мірності простору (наприклад в приміщенні з людьми вмикається музика) викликають
перерозподіл музичних хвиль, які пронизують даний обсяг простору. З точки зору фізики і
психоемоційного сприйняття прийнято всі звуки ділити на музичні і шуми.

5. Відобразимо g (t) на комплексну площину. для цього введемо радіус-вектор, який рівномірно обертається за годинниковою стрілкою.

Відобразимо g (t) на комплексну
площину. для цього введемо радіусвектор, який рівномірно обертається за
годинниковою стрілкою. Його довжина в
кожен момент часу дорівнює модулю
значення сигналу, а частота обертання
вибирається довільним чином.
Тепер побудуємо траєкторію руху кінця
вектора, що здійснює повний оборот за
дві секунди, або, іншими словами, з
частотою обертання fв = 0.5 об / с.

6. Виглядає, ніби вихідний сигнал  намотали на початок координат. У мінімумах сигналу отримане "намотування" зливається з початком

Виглядає, ніби вихідний сигнал намотали на
початок координат. У мінімумах сигналу отримане
"намотування" зливається з початком координат, а
при наближенні до максимумів - відхиляється.
Поки виглядає не особливо інформативно, чи не
так? А тепер збільшимо частоти намотування.
Спочатку графік розподіляється досить
симетрично відносно початку координат до
частоти обертання fв = 3 об / с. Потім максимуми
різко зміщуються в праву полуплоскость, а
намотування перестає нагадувати візерунок
спірометру.

7.   Роздивимося уважніше, що відбувається. У якості характеристик намотки візьмемо середнє значення всіх її точок - центр мас

Роздивимося уважніше, що відбувається.
У якості характеристик намотки візьмемо
середнє значення всіх її точок - центр мас
(відмітимо його оранжевою квіткою).
Будуємо залежність положення центральної
маси від частоти намотки. нам зараз
достатньо роздивитись х-кординати, але далі для
визначення попередніх перетворень фур'є потрібно
мати обидві координати.
Ми бачимо два піки: в точці fв = 0 об / с і fв = 3 об /
с. на підставі такого типу представлення
центральної маси вже можна подати частоту
вихідного сигналу (він коливається з f = 3с-1).
Але що означає сплеск на найнижчих частотах?

8.                        Можливо, ви звернули увагу, що ми розглядаємо, сигнал зміщений на одиницю. Зрушення був введений для

Аналізуємо вплив зміщення
Можливо, ви звернули увагу, що ми розглядаємо, сигнал
зміщений на одиницю. Зрушення був введений для
наочності, але саме воно призводить до ускладнення
поведінки центру мас.
При нульовій частоті все відображення сигналу на
комплексній площині розташовується на осі абсцис. на
малих частотах намотування і раніше групується в
правій півплощині.
Як тільки ми прибираємо зрушення, т. е. беремо сигнал
виду g (t) = cos (6πt), намотування при низьких частотах
зсувається вліво по осі абсцис.
Побудова радіус-вектора залишається аналогічним. Його
довжина дорівнює модулю значення сигналу, напрямок
обертання - позитивне. Але при зміні знаку g(t)
напрямок вектора змінюється на протилежне.
зараз ви побачите, як змінюється намотування і хкоордината центру мас незміщенного сигналу.
Таким чином, на графіку залишився лише один різкий
стрибок.

9. Тепер розглянемо суму двох гармонійних сигналів с частотою коливань f1 = 2 с-1 і f2 = 3 с-1. Проробивши з нею ті самі операції

Виділяємо частоти полігармонічного сигналу
Тепер розглянемо суму двох гармонійних сигналів с
частотою коливань f1 = 2 с-1 і f2 = 3 с-1. Проробивши
з нею ті самі операції - «намотав» біля початку
координат, і, змінюючи частоту обертання,
побудуємо графік х-координати центру мас.
Ми спостерігаємо два піки в точках fВ = 2 об / с і fВ =
3 об / с, що відповідає частотному складу вихідної
суми.
Відзначимо ще один цікавий факт, вірний як для хкоординати, так і для перетворення Фур'є.
Перетворення для суми сигналів і сума перетворень
сигналів мають один і той же вид.
Тобто Перетворення Фур'є лінійно.
Таким чином, цей підхід дозволяє визначити частоту
коливань як моно-, так і полігармонічного сигналу.

10. Висновки

ВИСНОВКИ
Ми відобразили вихідний сигнал на комплексну площину. Такий
вибір не випадковий - це дозволяє розглядати точки на площині
як комплексні числа і використовувати формулу Ейлера для
опису намотування: eiφ = cos (φ) + i · sin (φ). Геометрично це
співвідношення означає, що при будь-якому φ точка eiφ на
комплексній площині лежить на одиничному колі. Побудуємо
радіус-вектор eiφ при різних значеннях φ.

11. При зміні φ на 2π вектор проходить повний оберт проти годинникової стрілки, так як 2π - довжина одиничного кола. Щоб задати

швидкість
обертання вектора, показник ступеня домножаемо
на ft, а для зміни напрямку обертання - на -1. Тоді
намотування сигналу g (t) описується як g(t) e2πift.

12. Thank You!

THANK YOU!
[email protected]