Теория комплексных чисел. (Тема 2)

1. Теория комплексных чисел

2.

• «настоящие» только натуральные числадревнегреческие математики
• Введение отрицательных чисел- китайские
математики за 2 века до н.э.
• VII в. индийские ученые сравнивали
отрицательные числа с долгом
• XIII-XVI вв. отрицательные числа
рассматривались в исключительных случаях«ложные»
• XVII в. отрицательные числа получили
всеобщее распространение

3.

x px q
3
x px q
3
x q px
3

4. XVI в. изучение кубических уравнений ит. математик Н.Тарталья

x3=px+q
Корень уравнения: x= 3 u 3
где u, v- решение системы
уравнений u v q
3
p
uv
3
v

5. пример 1

x3=px+q
x3=9x+28
Корень уравнения:
x= 3 u 3 v
где u, v- решение системы
уравнений
u v q
3
p
uv
3
p=9, q=28
u v 28
uv 27
откуда u=27 и v=1
или u=1 и v=27
x 3 u 3 v 3 27 3 1 3 1 4

6. пример 2

x3=px+q
Корень уравнения:
x= 3 u 3 v
где u, v- решение системы
уравнений
u v q
3
p
uv
3
x3=15x+4
х=4- действительный корень
u v 4
uv 125
u 4 v
(4 v)v 125
v 2 4v 125 0
D 16 4 125 484
v1, 2
4 484
2
Не имеет решения во множестве
действительных чисел

7.

• 1545 г. Дж.Кардано (ит.алгебраист)- «чисто
отрицательные»
• 1572 г. Р.Бомбелли (ит.алгебраист)- первые
правила арифметических операций
• 1637 г. Р.Декарт
(фр.математик)- «мнимые
числа»

8.

• 1777 г. Л Эйлер
(шв.математик) –
обозначение i от латинского
imaginarius - «мнимый»
• 1831 г. К.Гаусс
(нем.математик)- символ i
вошел в употребление

9. В течение XVIII в. были решены многие вопросы и прикладные задачи, связанные

картография
гидродинамика
теория жидкости
теория упругости
радиотехника
• электротехника

10. Применение комплексных чисел в электротехнике

Для расчета цепей постоянного тока
Для расчета цепей переменного тока
Упрощение расчетов
Для расчета сложных цепей, которые
другим путем решить нельзя

11. Навыки, полученные после изучения темы «комплексные числа»

• Находить модуль и аргумент комплексного числа и
комплексное число по его модулю и аргументу
• Переводить комплексное число из одной формы в
другую.
• Производить арифметические действия над
комплексными числами
• Строить вектор по комплексному числу и определять
комплексное число по его вектору

12. Мнимая единица

• Мнимая единица- это число, квадрат
которого равен –1.
i2 = -1
i 1 - мнимая единица
36
1
4
36 1
1
1
4
36 1 6i
1
1
1 i
4
2

13. Степени мнимой единицы

i
i 2 1
i 3 i 2 i 1 i i
i 4 i 2 i 2 1 1 1
i 5 i 4 i 1 i i
i 6 i 4 i 2 1 1 1
i 7 i 6 i 1 i i
i 8 i 6 i 2 1 1 1

14.

если n:4 (ост.0), то in= 1=i0
если n:4 (ост.1), то in= i=i1
если n:4 (ост.2), то in=-1=i2
если n:4 (ост.3), то in=-i=i3
i28=1
i35=-i
Вычислить:
т.к. 28:4=7(ост.0)
т.к. 35:4=8(ост.3)
i13+i14+i15+i16
Ответ:
0

15. Алгебраическая форма комплексного числа

• Числа вида a+bi, где a,b ℝ, i- мнимая
единица называются комплексными
а- дейсвительная часть компл.числа a=Re z
bi- мнимая часть компл.числа
b- коэффициент при мнимой единице b=Im z

16. z=a+bi

• Если a=0, то z=bi- чисто мнимое
• Если b=0, то z=a- действительное
• Если a=0 и b=0, то z=0
ℕ
ℤ
ℚ
ℝ
ℂ
z=a+bi - алгебраическая форма комплексного числа

17. Равенство комплексных чисел

Два комплексных числа равны, если равны их
действительные части и коэффициенты при
мнимой единице:
a bi c di a c u b d
Пример. Найти х и у:
Решение:
3 y 15
5 x 7
3 y 5 xi 15 7i
y 5
x 7
5

18. Операции над комплексными числами

• Определим сумму
a1 b1i a2 b2i a1 a2 b1 b2 i
• Определим разность
a1 b1i a2 b2i a1 a2 b1 b2 i
• Определим произведение
a1 b1i a2 b2i a1a2 b1b2 a1b2 a2b1 i

19. Свойства операций

• Коммутативность относительно сложения
z1+z2=z2+z1
• Ассоциативность относительно сложения
(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3)
• Для ∀ z1 ,z2 ∃z: z1+z=z2. Число z называют разностью чисел z2и z1 и
обозначают z2-z1=z
• Коммутативность относительно умножения
z1ּz2=z2ּz1
• Ассоциативность относительно умножения
(z1ּz2)ּz3= z1ּ(z2ּz3)
• Для ∀ z1 0+0i, z2 ∃z: z1 z=z2. Число z называют частным чисел z2и
z1 и обозначают z=z2/z1
• Дистрибутивность z1ּ(z2+z3)= z1ּz2+z1ּz3

20. Доказательство 3: Для ∀ z1 ,z2 ∃z: z1+z=z2. Число z называют разностью чисел z2и z1 и обозначают z2-z1=z

Пусть:
тогда
z1 a1 b1i
z2 a2 b2i
z1 z z 2
a1 b1i x yi a2 b2 i
a1 x b y i a2 b2 i
a1 x a2
b y b2
x a2 a1
y b2 b1
z x yi z 2 z1 a2 a1 b2 b1 i
z x yi

21. Доказательство 6: Для ∀ z1 0+0i, z2 ∃z: z1 z=z2. Число z называют частным чисел z2и z1 и обозначают z=z2/z1

Доказательство 6: Для ∀ z1 0+0i, z2 ∃z: z1 z=z2. Число
z называют частным чисел z2и z1 и обозначают z=z2/z1
Пусть:
z1 a1 b1i
тогда
z1 z z2
z2 a2 b2i
z x yi
a1 b1i x yi a2 b2i
a1 x b1 y a1 y b1 x i a2 b2i
a1 x b1 y a2
a1 y b1 x b2

22.

a1 x b1 y a2
b1 x a1 y b2
a1
b1
b1
a1
x
a1 b1 0
a2
b1
b2
a1
откуда:
Решим систему по формулам Крамера:
2
2
система имеет единственное решение:
a1a2 b1b2
x
y
a1
a2
b1
b2
x a1a 2 b1b2
2
2
x
a1 b1
z 2 a1 a 2 b1b2 a1b2 a 2 b1
z x yi
i
2
2
2
2
z1
a1 b1
a1 b1
y
a1b2 a2 b1
y a1b2 a 2 b1
2
2
y
a1 b1

23. Доказательство 7: Дистрибутивность z1ּ(z2+z3)= z1ּz2+z1ּz3

Доказательство 7:
Дистрибутивность
Пусть:
z1 a1 b1i
z1ּ(z2+z3)= z1ּz2+z1ּz3
z2 a2 b2i
z3 a3 b3i
тогда
z1 z 2 z 3 a1 b1i a 2 b2 i a3 b3i a1 b1i a 2 a3 b2 b3 i
a1 a 2 a3 b1 b2 b3 a1 b2 b3 b1 a 2 a3 i
a1 a 2 a1 a3 b1b2 b1b3 a1b2 a1b3 b1a 2 b1 a3 i
z1 z2 z1 z3 a1 b1i a2 b2i a1 b1i a3 b3i
a1a2 b1b2 a1b2 b1a2 i a1a3 b1b3 a1b3 b1a3 i
a1a2 b1b2 a1a3 b1b3 a1b2 b1a2 a1b3 b1a3 i

24. Сложение и умножение комплексных чисел подчиняется тем же законам, что и сложение и умножение действительных чисел!

Пример.
Пусть
z1 2 3i
z2 5 7i
Найдем
z1 z 2 ;
z1 z 2 ;
z1 z 2
z1 z 2 2 3i 5 7i 2 3i 5 7i 7 4i
z1 z 2 2 3i 5 7i 2 3i 5 7i 3 10i
z1 z 2 2 3i 5 7i 10 15i 14i 21i 2
10 15i 14i 21 31 i

25. Сопряженные числа

• Числа a+bi и a-bi называются сопряженными.
(отличаются друг от друга только знаками
перед мнимой частью)
a2 b2i a2 b2i a1 b1i a1a2 b1b2 a1b2 a2b1 i
2
2
a1 b1i a1 b1i a1 b1i
a1 b1
a1a2 b1b2 a1b2 a2b1
2 2 2 2 i
a1 b1
a1 b1
Обозначение:
z a bi
сопряженные
z a bi

26. Чтобы разделить одно комплексное число на другое, надо числитель и знаменатель домножить на сопряженное знаменателю число

Пример.
Вычислить
z2 5 7i
z1 2 3i
5 7i 5 7i 2 3i 10 14i 15i 21i 2
2
2 3i 2 3i 2 3i
4 9i
10 29i 21 11 29i
11 29
i
4 9
13
13 13

27. Решение квадратных уравнений с D<0

Решение квадратных уравнений с D<0
Решить квадратное уравнение:
5x 2 6 x 5 0
Решение:
D 36 4 5 5 64
6 64 6 8i
6 8
3 4
i i
10
10
10 10
5 5
6 64 6 8i
6 8
3 4
x2
i i
10
10
10 10
5 5
x1
Ответ. Корнями квадратного уравнения с действительными
коэффициентами являются сопряженные комплексные числа!

28. ЗАДАНИЕ 1 Дано

ЗАДАНИЕ 1
Найти:
z1 z2 ;
Ответ:
z1 z2 1 2i
z1 z2 3 4i
z1 z2 1 5i
z1
5 1
i
z2
2 2
z 2 8i
6
Дано
z1 2 3i
z1 z2 ;
z1 z2 ;
z2 1 i
z1
;
z2
z2
6

29. ЗАДАНИЕ 2 Вычислить:

i
63
i17 i12 i 81 i 71 i 33
Ответ: 2 2i

30. ЗАДАНИЕ 3 По корням составить квадратное уравнение:

x1, 2 1 i 2
Ответ: x 2 2 x 3 0

31. ЗАДАНИЕ 4 Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел:

3 2i x 1 3i y 4 5i
Ответ:
7 23
;
11 11