Интегральное исчисление. Первообразная и неопределенный интеграл

1. Интегральное исчисление

Первообразная и неопределенный интеграл
Определение Функция F(x) называется первообразной для функции f(x),если F ( x) f ( x)

2. Интегральное исчисление

Первообразная и неопределенный интеграл
Определение Функция F(x) называется первообразной для функции f(x),если F ( x) f ( x)
Примеры 1) f ( x) x 2

3. Интегральное исчисление

Первообразная и неопределенный интеграл
Определение Функция F(x) называется первообразной для функции f(x),если F ( x) f ( x)
Примеры 1) f ( x) x 2
2) f ( x) x3
x3
x 3
F ( x) , т.к. x 2
3
3

4. Интегральное исчисление

Первообразная и неопределенный интеграл
Определение Функция F(x) называется первообразной для функции f(x),если F ( x) f ( x)
Примеры 1) f ( x) x 2
2) f ( x) x3
3) f ( x) x
x3
x 3
F ( x) , т.к. x 2
3
3
x4
x 4
F ( x) , т.к. x 3
4
4

5. Интегральное исчисление

Первообразная и неопределенный интеграл
Определение Функция F(x) называется первообразной для функции f(x),если F ( x) f ( x)
Примеры 1) f ( x) x 2
2) f ( x) x3
x3
x 3
F ( x) , т.к. x 2
3
3
x4
x 4
F ( x) , т.к. x 3
4
4
2
x2
x
f
(
x
)
x
3)
F ( x) , т.к. x
2
2

6.

Первообразная и неопределенный
интеграл
Замечание Для заданной функции f(x) ее первооб-
разная определена неодназначно.
Пример
f ( x) x 2
x3
F ( x) ,
3
x3
F ( x) 5,
3
x3
F ( x) 1,
3
x3
F ( x) C , C R
3

7.

Первообразная и неопределенный
интеграл
Теорема Если F(x) – первообразная для функции f(x),
то любая функция вида F(x)+С, где C R
первообразной для f(x).
является

8.

Первообразная и неопределенный
интеграл
Опр. Совокупность всех первообразных для функ-
ции f(x) называется неопределенным интегралом от
функции f(x) и обозначается
Примеры
f ( x)dx

9.

Свойства неопределенного интеграла
1)
f ( x)dx f ( x)
(производная от неопределенного интеграла равна
подинтегральной функции)

10.

Свойства неопределенного интеграла
2)
a f ( x)dx a f ( x)dx
(константу можно выносить за знак неопределенного
интеграла)

11.

Свойства неопределенного интеграла
3)
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
(интеграл от суммы равен сумме интегралов)
(интеграл от разности равен разности интегралов)

12.

Табличные интегралы
1)
0 dx C
2)
1 dx dx x C
n 1
x
3) x n dx
C , n 1
n 1
4) 1 dx ln x C
x
5)
x
x
e
dx
e
C
x
a
x
6)
a
dx ln a C, a 0, a 1

13.

Табличные интегралы
1)
0 dx C

14.

Табличные интегралы
1)
0 dx C
2)
1 dx dx x C

15.

Табличные интегралы
1)
0 dx C
2)
1 dx dx x C
n 1
x
3) x n dx
C , n 1
n 1

16.

Табличные интегралы
1)
0 dx C
2)
1 dx dx x C
n 1
x
3) x n dx
C , n 1
n 1
4) 1 dx ln x C
x

17.

Табличные интегралы
1)
0 dx C
2)
1 dx dx x C
n 1
x
3) x n dx
C , n 1
n 1
4) 1 dx ln x C
x
5)
x
x
e
dx
e
C

18.

Табличные интегралы
1)
0 dx C
2)
1 dx dx x C
n 1
x
3) x n dx
C , n 1
n 1
4) 1 dx ln x C
x
5)
x
x
e
dx
e
C
x
a
x
6)
a
dx ln a C, a 0, a 1

19.

Табличные интегралы
7)
sin x dx cos x C

20.

Табличные интегралы
7)
sin x dx cos x C
8)
cos x dx sin x C

21.

Табличные интегралы
7)
sin x dx cos x C
8)
cos x dx sin x C
dx
9)
tg x C
2
cos x

22.

Табличные интегралы
7)
sin x dx cos x C
8)
cos x dx sin x C
dx
9)
tg x C
2
cos x
10)
dx
sin 2 x dx ctg x C

23.

Табличные интегралы
11)
dx
x
arcsin C , x ( a, a); a 0
a
a2 x2
dx
1
x
arctg C , a 0
12) 2
2
x a
a
a
dx
1
x a
ln
C, a 0
13) 2
2
x a
2a x a
14)
dx
x2 a
ln x x 2 a C , a 0

24.

Метод замены переменной
1. Пусть необходимо вычислить интеграл
sin 2 x 3 dx. При этом
sin y dy cos y C
является табличным
1. Сделать замену y 2 x 3
2. Вычислить дифференциал dy (2 x 3) dx 2 dx
1
3. Выразить dx dy
2
4. Подставить y и dy в исходный интеграл
1
1
1
1
sin y 2 dy 2 sin y dy 2 cos y C 2 cos(2 x 3) C

25.

Метод замены переменной
2. Пусть необходимо вычислить интеграл вида
3
2
cos
x
1
x
dx.
1. Сделать замену
y x3 1
2. Вычислить дифференциал dy x3 1 dx 3x 2 dx
3. Выразить x 2 dx 1 dy
3
4. Подставить в исходный интеграл
1
1
1
3
cos
x
1
x
dx
cos
y
dy
sin
y
C
sin
x
1 C
3
3
3
3
2

26.

Интегрирование функций, содержащих
ax 2 bx c
A
1. 2
dx (n 0, m 2) выделить полный квадрат,
ax bx c
т.е. привести знаменатель к виду a x d e, после чего
сделать замену y=x+d. Интеграл сведется к одному из
табличных
2
dy
1
y a
ln
C, e 0
2
2
2a y a
y a
dy
1
y
y 2 a 2 a arctg a C , e 0
dy
1
y 2 y C, e 0

27.

Интегрирование функций, содержащих
2.
ax 2 bx c
dx
ax 2 bx c
выделить полный квадрат, т.е представить в виде:
dx
a( x d )2 e
и сделать замену y=x+d. После этого интеграл сводится
к одному из табличных
dx
x2 m
dx
ln x x 2 m C ,
если a>0
x
arcsin C , если a<0
2
2
m
m x

28.

Метод интегрирования по частям
Теор. Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции. Тогда
u dv uv v du
Эта формула называется формулой интегрирования по
частям

29.

Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям применяется для нахождения интегралов вида:
1.
2.
3.
4.
x e dx, n N , a R
x sin ax dx, n N , a R
x cos ax dx, n N , a R
x
ln
x
dx
,
n
N
,
k
R
,
k
1
n
ax
n
n
k
n