Интегральное исчисление. Приложения определённого интеграла

1. Интегральное исчисление

Приложения
определённого
интеграла

2. Студент должен знать

понятия
неопределённого и
определённого интегралов;
свойства интегралов;
таблицу неопределённых интегралов;
методы интегрирования;
формулу Ньютона-Лейбница.

3. Заполните таблицу

F(x)
f(x)=F′(x)
F ( x ) x 11
f ( x) 3x
3
2
F (x) x 0,2 f ( x ) 2 x
4
3
x
F (x)
f ( x) 4 x
2
2

4. Первообразная (определение)

y = F(x), y = f(x), D(F) = D(f) = X,
F(x) – первообразная для f(x),
если для всех x Х:
F (x) = f(x).

5. Определить первообразную функции f(x) = 3x2

Определить первообразную
2
функции f(x) = 3x
F(x) = x3
т.к.
F (x) = (x3) = 3x2 = f(x).

6. Определить первообразную функции f(x) = 3x2

Определить первообразную
2
функции f(x) = 3x
1. F(x) = x3+1, т.к.
F (x) = (x3+1) = 3x2+0 = f(x).
F(x) = x3–7, т.к.
F (x) = (x3–7) = 3x2–0 = f(x).
2.

7. Теорема 1

Функция f(x), имеет
бесконечное множество
первообразных вида F(x)+С.

8. Неопределённый интеграл

f ( x)dx F ( x) C
f(x) – подынтегральная функция,
f(x)dx – подынтегральное выражение.

9. Свойства неопределённого интеграла

10. Теорема 2

d f ( x)dx f ( x)dx
Дифференциал
интеграла функции
равен подынтегральному выражению.

11. Теорема 3

f ( x)dx
Производная
f ( x)
интеграла равна
подынтегральной функции.

12. Теорема 4

f ( x)dx f ( x) C
Интеграл
производной функции равен
сумме этой функции с произвольной
константой.

13. Теорема 5

f
x
g
x
dx
f x dx g x dx
Интеграл суммы равен сумме интегралов

14. Теорема 6

kf
x
dx
k
f
x
dx
Постоянный множитель выносится за знак
интеграла

15. Основные формулы интегрирования

16. Интеграл дифференциала аргумента

dx
x
C

17. Интеграл степенной функции

n 1
x
x
dx
C
,
n 1
n 1
n

18. Интеграл обратной пропорциональности

dx
ln
x
C
,
x
x 0

19. Интеграл экспоненциальной функции

e
dx
e
C
x
x

20. Интеграл показательной функции

x
x
a
a
dx
C
ln a

21. Интеграл функции косинуса

cos
xdx
sin
x
C

22. Интеграл функции синуса

sin
xdx
cos
x
C

23. Методы интегрирования

1.
2.
3.
Непосредственное
интегрирование
Метод подстановки (замены
переменной)
Метод интегрирования по частям

24. Непосредственное интегрирование

Найти:
2 x
3
3 x 2 x 8 dx
2

25.

2x
3
3 x 2 x 8 dx
2
2 x dx 3 x dx 2 xdx 8dx
3
2
2 x dx 3 x dx 2 xdx 8 dx
3
2
x x x
3
2
8 x C
2
3 1 2 1 1 1
3 1
2 1
4
1 1
x
3
2
x x 8 x C.
2

26. Метод подстановки (замены переменной)

Найти:
x
3
4
3 x dx
2

27. Введение подстановки

t x 3
3
2
dt d x 3 x 3 dx 3 x dx
3
3
dt 3 x dx
2
1
x dx dt
3
2

28.

1
x 3 x dx t dt
3
5
1 4
1 t
t dt C
3
3 5
4
3
4
2
t
x 3
C
C.
15
15
5
3
5

29. Метод интегрирования по частям

ud
u
du

30. Найти:

x
ln
xdx
Чтобы воспользоваться формулой
ud u du
необходимо выбрать функцию u и дифференциал dυ
Пусть u = x и dυ = lnx.
Тогда: du = dx и
d ln xdx
Такой выбор неудачен: невозможно интегрирование.

31.

Выберем функцию u и дифференциал dυ иначе:
Пусть u = lnx и dυ = xdx.
2
и
x
xdx
2

32. Образец оформления

dx
u ln x; du
x
x
ln
xdx
2
x
d xdx;
2
2
2
2
x
x dx x
xdx
ln x
ln x
2
2x
2
2

33.

2
2
2
x
1 x
x
1
ln x xdx ln x C
2
2 2
2
2
2
2
2
x
1
x
x
ln x C ln x C
2
2
2
4
2
x
2 ln x 1 C.
4

34. Определённый интеграл

Определённый
интеграл функции
y=f(x) есть число, значение которого
зависит от вида этой функции и пределов
интегрирования a и b:
b
a
f x dx

35. Определённый интеграл

b
f x dx
a
f(x) – подынтегральная функция,
f(x)dx – подынтегральное выражение,
a – нижний предел интегрирования
b – верхний предел интегрирования

36. Формула Ньютона-Лейбница

b
b
a
f x dx F b F a
a
f x dx F x a F b F a .
b

37. Свойства определённого интеграла

38. Теорема 7 (аддитивность)

a c b
b
a
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

39. Теорема 8

b
f
x
g
x
dx
a
b
b
a
a
f x dx g x dx

40. Теорема 9

b
b
a
a
kf
x
dx
k
f
x
dx

41. Теорема 10

b
a
a
f x dx f x dx
b

42. Вычисление определённых интегралов

Вычислить:
3
x
dx
.
3
1

43.

Вычисление определённых
интегралов
3
4 3
x
x
dx
1
4
3
1
3
4
4
1
4
81 1 80
20.
4 4 4
4

44. Криволинейная трапеция

плоская фигура, ограниченная линиями:
= f(x),
y = 0 – ось абсцисс,
x = a,
x = b.
y
y=f(x)
x=a
y
y=0
0
a
b
x=b
x

45. Площадь криволинейной трапеции

b
S f x dx.
a

46. Вычисление площадей плоских фигур

Вычислить площадь фигуры,
y
ограниченной линиями:
x=π/3
y sin x, y 0,
x , x .
6
3
y=sin x
y=0
0
π/2
x=π/6
π
x

47.

3
S
3
6
cos
x
sin
xdx
6
cos cos
3
6
1
3
2 2
1
3
3 1 (кв.ед.).
2 2
2

48. Дифференциальные уравнения

49. Дифференциальное уравнение* –

это уравнение, связывающее
независимую
переменную x,
её функцию y,
производные различных порядков этой
функции: y’, y”, y’”…
*«Дифференциальное уравнение» будем кратко обозначать
аббревиатурой «ДУ»

50. Решить ДУ –

это значит, найти множество всех
функций, которые удовлетворяют
данному ДУ:
Такое
множество функций имеет вид:
y = f(x; C), где C – произвольная
постоянная,
Это
– общее решение ДУ.

51. Обыкновенное ДУ* –

это ДУ, которое имеет только одну
независимую переменную (например, х или t).
ДУ в частных производных** – это ДУ, которое
имеет две и более независимых переменных.
*«Обыкновенное дифференциальное уравнение» будем кратко
обозначать аббревиатурой «ОДУ».
**Такие ДУ в рамках нашей программы не рассматриваются.

52. Порядок* ОДУ –

это порядок старшей производной:
y’ + 1 = 0
– ОДУ первого порядка;
y” + y = x sinx
– ОДУ второго порядка;
y(V) + y(III) = a y, a R
– ОДУ пятого порядка.
*В рамках нашей программы будут рассматриваться только ОДУ первого
порядка.

53. Решение ОДУ

ОДУ: y’ = x2;
Одно из решений: y = (1/3) x3;
Проверка:
((1/3) x3)’ =
(1/3) (x3)’ = (1/3) 3x2 = x2.
Другое решение ОДУ: y = (1/3) x3 + 1,2.
ОДУ могут иметь множество решений.

54. Общее решение ОДУ –

это множество решений, содержащее ВСЕ
без исключения решения этого
дифференциального уравнения.

55. Частное решение ОДУ –

одно из множества решений ОДУ, удовлетворяющее
изначально заданным дополнительным условиям:
ОДУ:
y’ = x2,
y(1) = 1;
Общее решение: y(x) = (1/3) x3 + С.
Найдём С:
1 = (1/3) 13 + С
С = 2/3.
Частное решение ОДУ: y = (1/3) x3 + 2/3.

56. Задача Коши –

это задача нахождения частного решения
дифференциального уравнения,
удовлетворяющего заданным начальным
условиям.

57. ОДУ с разделяющимися переменными –

это уравнение, которое возможно
преобразовать таким образом, что правая
часть будет содержать выражения только с
переменной y, а левая – только с
переменной х (или наоборот).

58. Пример 1

Найти общее решение ОДУ
xy’ = y.
Решение ОДУ происходит в несколько
этапов:

59. Этап 1: расшифровка производной

Запишем:
Тогда:
y’ = dy/dx
xy’ = y
x dy/dx = y;

60. Этап 2: разделение переменных

x dy/dx = y;
По свойству пропорции, перенесём «крестнакрест» х и dx вправо, а y – влево:
dy/y = dх/x;

61. Этап 3: интегрирование

Найдём интегралы левой и правой частей
уравнения:
(dy/y) = (dх/x);
ln y = ln x + константа;
константа = ln С ;
ln y = ln x + ln С ;

62. Этап 4: нахождение y в явном виде

Найдём общее решение (функцию y) в явном виде:
ln y = ln x + ln С ;
ln y = ln Cx ;
y = Сx.
Ответ: y = Сx, где С – константа.
*Общее решение ОДУ – семейство функций (здесь – семейство прямых
пропорциональностей).

63. Пример 2 (задача Коши)

Найти частное решение дифференциального
уравнения
y’ = –2y,
удовлетворяющее начальному условию
y(0) = 2.

64. Этап 1: расшифровка производной

Запишем:
Тогда:
y’ = dy/dx
y’ = –2y
dy/dx = –2y;

65. Этап 2: разделение переменных

dy/dx = –2y;
По свойству пропорции, перенесём «крестнакрест» dx вправо, а y – влево:
dy/y = –2dх;

66. Этап 3: интегрирование

Найдём интегралы левой и правой частей
уравнения:
dy/y = dх;
(dy/y) = (–2dх);
(dy/y) = –2 dх;
ln y = –2x + С`;

67. Этап 4: нахождение y в явном виде

Найдём общее решение (функцию y) в явном виде:
ln y = –2x + С`;
Учтём: если lna = b, то a = eb;
y = e–2x + С`;
y = eС` e–2x
Переобозначим: eС` = С,
тогда общее решение будет иметь вид: y = Сe–2x.
(семейство экспоненциальных функций)

68. Этап 5: нахождение частного решения

Найдём частное решение для y(0) = 2:
= 0: y = Сe–2 0 = Сe0 = С 1 = С = 2.
Тогда y = Сe–2x и С = 2
y = 2e–2x – частное решение ОДУ.
При х
Ответ:
y = 2e–2x.

69. Итоги

свойства
интегралов;
таблица неопределённых интегралов;
методы интегрирования;
формула Ньютона-Лейбница;
дифференциальные уравнения;
задача Коши.

70. Домашнее задание

К практическому занятию №3:
Теория
– лекционный материал;
Письменно – упражнения для
самостоятельной работы.

71. Благодарю за сотрудничество

До встречи!