Линейная алгебра. Определители. (Лекция 2)

1. Линейная алгебра

Лекция 2
Определители

2. План лекции

Определитель 2-го порядка.
Определитель n-го порядка.
Свойства определителя.
Основные методы вычисления определителя:
– метод приведения к треугольному виду;
– метод понижения порядка.
2

3. Определитель 2-го порядка

a11 a12
A
a21 a22
Определителем 2-го порядка, соответствующим
матрице A (определителем матрицы А),
называется число
det A
a11
a12
a21 a22
+
a11a22 a12a21
—
3

4. Примеры вычисления определителя 2-го порядка

1)
2)
3
2
6
5
3 5 6 2 3
cos
sin
sin
cos
cos 2 sin 2 1
4

5. Определитель n-го порядка

a1 1 a1 2
a2 1 a2 2
A
... ...
a a
n2
n1
... a1n
... a2 n
... ...
... an n
Определителем n-го порядка, соответствующим
матрице A, называется число detA, равное сумме
всех произведений элементов матрицы, взятых по
одному из каждого столбца и каждой строки и
снабженных знаком «+» или «-» по
определённому правилу – «правилу знаков»,
которое состоит в следующем:
5

6. Определитель n-го порядка. Правило знаков

det
1
s , ,...,
t (s)
j1 j2
jn
a1, j1 a2 , j2 ...an , jn
Число t (s) равно числу транспозиций, которое нужно
сделать, чтобы перейти от основной перестановки
(1,2,…,n) к перестановке s j1 , j2 ,..., jn .
Пример.
Произведение
входит в
a2 , 5 a4 , 4 a1, 3 a5, 2 a3,1
определитель 5-го порядка со знаком « + », т.к.
1 2 3 4 5
s
3 5 1 4 2
,
t (s) = 2
6

7. Свойства определителя

1.
Свойства определителя
Умножение некоторой строки (столбца) матрицы
определителя на некий коэффициент равносильно
умножению самого определителя на этот коэффициент.
Если все элементы некоторой строки (столбца)
содержат общий множитель, то его можно вынести
за знак определителя).
a
a
... a1n
a2 1
a2 2
...
a2 n
...
an1
...
an 2
...
...
...
an n
11
12
a1 1
a1 2
... a1n
a2 1
a2 2 ... a2 n
...
an1
... ... ...
an 2 ... an n
7

8. Свойства определителя

2.
Если все элементы некоторой строки (столбца)
матрицы равны нулю, то и определитель равен нулю.
3.
При перестановке двух строк (столбцов) между собой
величина определителя меняет лишь знак.
4.
Определитель не меняется при транспонировании
(свойство равноправности строк и столбцов матрицы).
5.
Определитель с двумя одинаковыми строками
(столбцами) равен нулю.
6.
Определитель с двумя пропорциональными строками
(столбцами) равен нулю.
8

9. Свойства определителя

7.
Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить
другую строку (столбец), умноженную на произвольное число,
то величина определителя не изменится.
8.
Определитель верхнетреугольной матрицы равен
произведению элементов главной диагонали:
c11 c12 ..
0 c22 c23
0 0 c33
.. .. ..
0 0 0
..
..
..
..
0
c1n
c2 n
c3 n с11 с22 с33 сnn
..
cnn
9

10. Свойства определителя

Алгебраическим дополнением ij элемента aij
a ij
называется следующий определитель n-го порядка
a11
a12
.. 0 ..
a1,n 1
a1n
a21
...
a22
...
.. 0 ..
.. 0 ..
a2 ,n 1
...
a2 n
...
0 0 1 0
0
0
ij 0
...
... .. 0 .. ...
...
an 1,1 an 1, 2 .. 0 .. an 1,n 1 a
n 1,n
an ,1 an , 2 .. 0 .. an ,n 1
a n ,n
i-ая строка
j-й столбец
10

11. Свойства определителя

9. Сумма произведений элементов любой строки (столбца)
определителя на их алгебраические дополнения равна этому
определителю, т.е.
ai1 i1 ai 2 i 2 ai 3 i 3 ... ain in
10. Определитель произведения двух квадратных матриц
равен произведению определителей этих матриц:
det i
j det det
11

12.

Элементарные преобразования
Под элементарными преобразованиями
понимаются:
1) умножение строки (столбца) на число, отличное от
нуля;
2) прибавление к одной строке (столбцу) другой,
умноженной на любое число;
3) перемена местами двух строк (столбцов).
12

13. Методы вычисления определителей

1. Метод приведения к треугольному виду
Матрица определителя приводится элементарными
преобразованиями над строками (или столбцами) к
верхнетреугольному виду.
Определитель полученной матрицы вычисляется как
произведение диагональных элементов:
a11 a12 .. .. a1n
a21 a22 .. .. a2 n
..
.. .. .. ..
..
an1
..
an 2
.. ..
.. ..
..
ann
c11 c12 ..
0 c22 c23
0 0 c33
.. .. ..
0 0 0
..
..
..
..
0
c1n
c2 n
c3 n
..
cnn
c11 c22 c33 cnn
13

14. Методы вычисления определителей

2. Метод понижения порядка
Минором i j , соответствующим элементу aij определителя
n-го порядка, называется определитель (n-1)-го порядка,
получающийся из исходного определителя вычеркиванием
i-й строки и j-го столбца.
Справедливо следующее равенство:
i j 1 i j
i j
Разложение определителя по i-ой строке
ai1 i1 ai 2 i 2 ai 3 i 3 ... ai n i n
ai1 M i1 ai 2 M i 2 ai 3 M i 3 ... ai n ( 1)
i n
Min
14
.

15. Линейная алгебра

Лекция 2
Обратная матрица

16. План лекции

Определение обратной матрицы
Свойства обратимой матрицы
Вырожденная и невырожденная матрицы
Необходимое и достаточное условие существования
обратной матрицы
Основные методы нахождения обратной матрицы:
– метод присоединенной матрицы;
– метод элементарных преобразований.
16

17. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Квадратная матрица А называется обратимой, если
найдётся квадратная матрица В такая, что выполняются
равенства:
А .В = В . А = Е
В этом случае матрица В называется обратной к матрице А
и обозначается
В=А
-1
17

18. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОБРАТИМЫХ МАТРИЦ

Если квадратные матрицы А и В обратимы, то
справедливы следующие соотношения:
(Α )
1
Α Β
1
1
Α
1
Β Α
1
(Α ) (Α )
1
1
18

19. Вырожденные и невырожденные матрицы

Матрица А называется невырожденной, если
определитель матрицы отличен от нуля, и
вырожденной в противном случае.
det 0 – матрица А вырожденная.
det 0 – матрица А невырожденная.
19

20. ТЕОРЕМА (условия существования обратной матрицы)

Для того чтобы для матрицы А существовала обратная,
необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был
отличен от нуля, т.е. чтобы А была невырожденной. При этом:
11
1 12
1
...
1n
21 ... n1
22 ... n 2
, det
... ... ...
2 n ... nn
20

21. Основные методы построения обратной матрицы. Метод присоединенной матрицы

Присоединенная матрица A определяется как транспонированная к
матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих
элементов матрицы A :
11
12
...
1n
21 ... n1
22 ... n 2
... ... ...
2 n ... nn
Справедливо равенство
A A AA det A E .
Из теоремы следует, что если A – невырожденная
матрица, то
A 1
1
A
det A
21

22. Метод элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями матрицы называются
следующие:
1)
2)
3)
перестановка строк (столбцов);
умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
прибавление к элементам строки (столбца) элементов другой
строки (столбца), умноженных на некоторое число.
Для данной квадратной матрицы A n-го порядка строят
прямоугольную матрицу ГА = ( A | E ) размера nх2n, приписывая
к A справа единичную матрицу.
Используя элементарные преобразования над строками,
приводят матрицу ГА к виду ( E | B ) , что всегда возможно, если A
невырождена. Тогда B = A-1.
22