Определитель и его свойства

1. Тема: «Определитель и его свойства».

Конкурс интерактивных презентаций "Интерактивная мозаика"
«Сообщество взаимопомощи учителей Pedsovet.su»
Тема: «Определитель и его свойства».
Даниленко Светлана Владимировна,
преподаватель естественнонаучных дисциплин
КГБОУ СПО Хабаровский ПромышленноЭкономический Техникум

2. Тема: «Определитель и его свойства».

Цель: 1. Изучить свойства определителей и способы их вычисления.
2. Научиться производить расчёты определителей разными способами
(подготовиться к практической работе).
Ход занятия
1. Контроль исходного уровня знаний по теме: «Матрица».
2. Объяснение нового материала.
а) Вычисление определителей 2-го порядка.
б) Вычисление определителей 3-го порядка.
в) Основные свойства определителя.
г) Теорема о разложении определителя по элементам строки
или столбца.
3. Закрепление нового материала.
4. Домашнее задание.

3.

Выберите любую букву из данного
слова и выполните задание:
МАТРИЦА

4.

Проверь себя!

5.

Определение:
Матрицей размером m n называется
прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и
n столбцов.
a11 a12 ..... a1n
Am n a 21 a 22 ..... a 2 n
a a ..... a
mn
m1 m 2

6.

Найди ошибку в умножении матрицы А на 5:
2 3 2 1
A
4 5 0 2
2 5 3 5 2 5 1 5 10 15 10 5
5 A
4 5 5 5 0 5 2 5 20 5 0 10

7.

2 5 3 5 2 5 1 5 10 15 10 5
5 A
4 5 5 5 0 5 2 5 20 25 0 10

8.

Найдите ошибку в транспонированной матрице Аt:
1 2 3
A
4 5 6
4
t
A 5
6
1
2
3

9.

1 2 3
A
4 5 6
1
t
A 2
3
4
5
6

10.

Сформулируйте операцию вычитания двух
матриц одинаковой размерности.
Проверь себя!

11. Определение:

Разностью двух матриц А и В одинаковой
размерности, называется матрица:
А-В=А+(-1)·В

12.

Проверь себя!

13.

1 0 0
0 1 0
0 0 1
- единичная
2 0 0
0 5 0 - диагональная
0 0 3
1 2 3
5 1 8 - квадратная
6 0 4
0 0 0
0 0 0 - нулевая
0 0 0

14.

Найти ошибку при сложении матриц А и В:
1 2
A
3 0
2
B
4
1
3
1 2 2 1 1 2 2 1 3 3
A B
3 0 4 3 3 4 0 3 7 0

15.

3
A B
7
3
3

16.

Найдите произведение матрицы А на В и исправьте
ошибку:
1 2
A
0 3
2 1 0
B
3 4 1
1 2 2 3 1 1 2 4 1 0 2 1 8 9 3
A B
0 2 3 3 0 1 3 4 0 0 3 1 9 12 3

17.

8
A B
9
9
12
2
3

18.

Определение:
a11 a12 ..... a1n
Любой квадратной матрице n-го порядка А a21 a22 ..... a2 n
a
a
.....
a
n2
nn
n1
можно поставить в соответствие выражение, которое называется
определителем (детерминантом) матрицы А, и обозначается так:
a11
| A | = det A= ∆ = a21
an1
a12 ..... a1n
a22 ..... a2 n
an 2 ..... ann

19.

1. Определитель второго порядка задаётся
равенством:
a11 a12
a11 a22 a12 a21
a21 a22

20.

2. Определитель третьего порядка задаётся
равенством:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (a11 a22 a33 ) (a21 a32 a13 ) (a12 a23 a31 )
a31 a32 a33
(a13 a22 a31 ) (a21 a12 a33 ) (a23 a32 a11 )

21.

22.

1.
Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит
только из нулей, то определитель равен нулю.
1
0
2
1 0 2 0 0
0

23.

2. Если какие-либо две строки (два столбца) определителя
пропорциональны, то определитель равен нулю.
1
1
3
1 3 3 1 3 3 0
3
3. Если какую-либо строку (столбец) определителя
умножить на любое число, то и весь определитель
умножиться на это число.
2
1 2
1 3 3 2 1 умножим на 2 первую1
строку
4
6 4 2
3

24.

4. Если две строки (два столбца) определителя поменять
местами, то определитель изменит знак.
1
2
3
2
1 6 5;
1
1
1
6 1 5
3
5. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя
прибавить, какую-либо другую строку (столбец)
умноженную на любое число, то определитель не
изменится.
1 3
1 2 2 3 1
1 1 2 3 2 2 3 7
6 7 1
1
2
1 2
Прибавим к первой строке
вторую, умножим на 2.

25.

6. Определитель произведения матриц равен произведению
определителей.
А В
А В
7. Матрица, определитель которой равен нулю,
называется вырожденной; матрица, определитель
которой отличен от нуля, называется невырожденной.

26.

Определение:
Минором Mij к элементу aij квадратной матрицы А, называется
определитель, составленный из элементов матрицы А, оставшихся
после вычёркивания i-строки и j- столбца.
Определение:
Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij квадратной
матицы А, называется произведение:
Aij=(-1)i+j ·Mij

27.

Теорема: (о разложении определителя по элементам
строки или столбца).
Сумма произведений элементов любой строки (столбца)
определителя на их алгебраические дополнения равна этому
определителю, т. е.
Разложение по элементам i-строки:
∆= ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain
Разложение по элементам j-столбца:
∆=
a1 j A1 j a2 j A2 j ... anj Anj

28.

Задание: Вычислить определитель 4-го порядка.
1
3
0
5
2
1
1
0
0
2
2
1
1
1 ( 1) 2 1
0
2
2
1
4
3
1 2 ( 1) 3 0
3
5
3
0 ( 1) 4 0
5
1
1
0
0
4
1
3
4
3
1 0 ( 1) 5 0
3
5
2
2
1
1
1
0
4
1
3
2
2
1
1 (6 4 0 0 1 6) 2 ( 18 0 10 40 3 0) 0 0 5 2 35 75

29.

Выберите любую красную букву из данного слова и
выполните задание:
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

30.

Проверь себя!

31.

Проверь себя!

32.

Проверь себя!

33.

Проверь себя!

34. Aij = (-1)i+j · Mij

Что такое Mij?

35.

Определение:
Минором Mij к элементу aij квадратной матрицы А, называется
определитель, составленный из элементов матрицы А,
оставшихся после вычёркивания i-строки и j- столбца.

36.

1
А23 1
0
2
4
3
Проверь себя!
0
1
1

37.

1 2 0
2
51
А23 1 4 1 ( 1)
(1 3 2 0) (3 0) 3
0 3
0 3 1

38.

3 4
6 2
1. Вычислить определители 2-го порядка.
а2
ав
2. Найти алгебраические дополнения элементов а13, a23,a12.
3. Вычислить определители 3-го и 4-го порядка.
2 8 2
А 1 4 2
3 8 5
3
4
В
3
0
6
5
1
7
8
0
4
9
0
0
4
2
в
в2
3 5
А 1 4
6 0
2
2
3

39.

40.

Источники текстовой информации:
-
-
Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. – Мн.: Выш. шк., 1992.
Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и
линейная алгебра. – Мн.: Тетрасистемс, 1998.
Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Часть 1. –Мн.: Амалфея, 1999.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр. М.:
Новое знание, 2002.
Коваленко Н.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.И. Высшая математика. Учеб. пособие.
-Мн.: ЧИУП, 2003.