Определители и их свойства

1. ТЕМА ЛЕКЦИИ:

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА.

2. 1. Определитель матрицы, его свойства, методы нахождения определителя

Рассмотрим квадратную матрицу
второго порядка. Определителем этой
матрицы называют число,
обозначаемое det A, ∆ или |A|,
полученное из элементов матрицы по
следующему правилу:
det A=a11· a22- a12· a21
Рассмотрим матрицу третьего порядка.

3. Определитель матрицы, его свойства, методы нахождения определителя

Определителем матрицы третьего порядка называют число,
которое находят с помощью формулы:
a
det A a
a
a
a
a
11
21
31
12
22
32
a
a
a
13
23
a11 a 22 a 33 a 31 a 12 a 23 a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 21 a 12 a 33 a 32 a 23 a 11
33
Пример:
2
0
3 1
1 4 2 1 3 ( 1) 3 4 1 0 2 ( 1) 1 1 0 3 3 2 4 2 6 0 12 1 0 16 21
1 2 3
Метод Саррюса:
a a a a a
a a a a a
a a a a a
11
12
13
11
12
21
22
23
21
22
31
32
33
31
32
Со знаком плюс
Со знаком минус

4. Вычисление определителя

Пример:
2 3 1 2 3
0 1 4 0 1
1 2 3 1 2
2 1 3 3 4 ( 1) 1 0 2 1 1 ( 1) 2 4 2 3 0 3 21

5. Разложение определителя по элементам строки (столбца)

Определитель матрицы равен сумме
произведений элементов строки
(столбца) на соответствующие
алгебраические дополнения.

6. Разложение определителя по элементам строки (столбца)

Минором M ij элемента a определителя называется
определитель, получаемый из данного путем
вычеркивания строки и столбца, на пересечении
которых находится элемент a
ij
ij
a
a
a
11
21
31
a
a
a
12
22
32
a
a
a
13
M 11
23
a
a
22
32
a
a
23
33
33
Алгебраическим дополнением Aij элемента a
определителя называется его минор взятый со
знаком 1 , т.е. Aij ( 1)i j Mij
ij
i j
A11 ( 1)1 1
a
a
22
32
a
a
23
33

7. Разложение определителя по элементам первой строки

2
0
1
3
1
2
1
4
3
a
11
2
a
12
3
13
1
a
M 11
M
M
12
13
1 4
2 3
0
3 8
4
1 3
0
1
1 2
A
11
0 4 ( 1) 4
0 1 ( 1) 1
( 1)1 1 M11 ( 1)2 ( 5) 5
A
12
( 1)1 2 M12 4
A
13
( 1)1 3 M13 1
Определитель матрицы равен сумме произведений
элементов строки (столбца) на соответствующие
алгебраические дополнения
a11 A11 a12 A12 a13 A13 2 ( 5) 3 ( 4) 1 (1) 10 12 1 21
Аналогичным образом определитель третьего порядка
может быть разложен по элементам второй и третьей
строк, а также по элементам первого, второго или
третьего столбца.

8. Разложение определителя по элементам строки (столбца)

Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ
строке (столбцу), где:
1) нулей побольше;
2) числа поменьше.
Особый случай, когда определитель
имеет ступенчатый (треугольный) вид:
Разложим его по первому столбцу:

9. Свойства определителей

1. При транспонировании матрицы величина её определителя не
меняется
2. Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами,
то определитель сменит знак
3.Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель
4. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны
(как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен
нулю
5. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю
6. К строке определителя можно прибавить другую строку,
умноженную на ненулевое число. При этом величина определителя не
изменится (К столбцу определителя можно прибавить другой столбец,
умноженный на ненулевое число. При этом величина определителя не
изменится)

10. Обратная матрица. Ранг матрицы

Матрицей, обратной к матрице А, называется
квадратная матрица A-1, такая что A-1 А=E
Если А невырожденная (det A≠0), то A-1 находится по
формуле:
A A ... A
11
A
1
1
1 A12
At
det A
det A ...
A
1n
21
A
n1
...
A
...
...
...
A
...
A
22
2n
n2
nn
Где – Aij алгебраическое
дополнение соответствующего
t
элемента, A - транспонированная матрица
алгебраических дополнений
• Рангом матрицы А размерности m×n называется
наибольший из порядков миноров, отличных от 0.
• Ранг матрицы обозначают r(A).

11. Пример

Найти матрицу, обратную данной:
2 1 1
A 3 0 1
2 1 1
Вычислим определитель:
1 2 1 1
1 1
1 3 0 1 4
4
0 1
2 1 1
4 0 0
2
det A 3
1
0
Находим А-1:
A
Проверка:
1
1 0 1
1
1 4 5
4
3 4 3
1 0 1 2 1 1
4 0 0 1 0 0
1
1
A 1 A 1 4 5 3 0 1 0 4 0 0 1 0 E
4
4
3 4 3 2 1 1
0 0 4 0 0 1

12. Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. 

Ранг матрицы не изменяется от
элементарных преобразований.
Под элементарными преобразованиями понимается:
- замена строк столбцами, а столбцов - соответствующими
строками;
- перестановка строк (столбцов) матрицы;
- вычеркивание ряда (строки или столбца), все элементы
которого равны нулю;
- умножение какого-либо ряда (строки или столбца) на
число, отличное от нуля;
- прибавление к элементам одного ряда соответствующих
элементов другого параллельного ряда.

13. Вычисление ранга матрицы

1 2 3 1
1 1 2 1
3 9 4 7
3 0 7 1
1 2 3 1
0
3
1
2
0 15 5 10
0
6
2
4
1 2 3 1
0
3
1
2
0 3 1 2
0 3 1 2
Вычтем из 2-ой строки 1-ую строку, к 3ей прибавляем 1-ую строку,
умноженную на 3, а из 4-ой – вычитаем
1-ую строку, умноженную на 3.
Делим элементы 3-ей и 4-ой строк
на их общие множители
1 2 3 1
0
3
1
2
0 0 0 0
0 0 0 0
1 2 3 1
0 3 1 2

14. Домашнее задание

Вычислите ранг матрицы.
0 4 10 1
4
8
18
7
A
10 18 40 17
1 7 17 3
Найдите сумму матриц А и В, определитель и
обратную матрицу полученной матрицы.
3 5 7
A 2 1 0
4 3 2
1 2
B 2 3
1 0
4
2
1