Линейные операции над матрицами. Лекция № 2

1.

Лекция № 2
Линейные операции
над матрицами

2.

Суммой матриц A (aik ) m, n и B (bik ) m, n
называется матрица A B (aik bik ) m,n .
Складываются матрицы только
одинакового размера.

3.

Например.
Найти сумму и разность матриц А и В:
2 3 0
A
1 0 4
0 2 3
B
1 5 2
2 1 3
A B
2 5 6
2 5 3
A B
0 5 2

4.

Произведением матрицы А на число λ
называется матрица A ( aik ) m, n .
Другими словами, для умножения матрицы
на число надо каждый элемент матрицы
умножить на это число. Любую матрицу
можно умножить на любое число.

5.

Например:
Умножая матрицу
2 3 0
A
1 0 4
на число 2, получим:
2 2 3 2 0 2 4 6 0
A 2
1 2 0 2 4 2 2 0 8

6.

Для любых матриц одинакового размера и
любых чисел и выполняются свойства:
1 A B B A
2 A 0 A
3 A ( B C ) ( A B) C
4 ( A) ( ) A
5 ( A B) A B
6 ( ) A A A

7. Умножение матриц

Произведением матрицы A (aik ) m, p на
матрицу B (bik ) p, n называется матрица C
p
размера m n с элементами cik aij b jk ,
j 1
i 1, 2, , m, k 1, 2, , n .
Другими словами, для получения элемента,
стоящего в i-той строке матрицы-произведения на
k-том
месте,
следует
вычислить
сумму
произведений элементов i-той строки матрицы A
на k-тый столбец матрицы B.

8.

В самом определении произведения матриц
заложено, что число столбцов первой
матрицы должно совпадать с числом строк
второй.
Это условие согласования матриц при
умножении.
Если оно нарушено, то матрицы перемножить
НЕЛЬЗЯ.
Заметим, что вполне возможна ситуация,
когда A∙B существует, а B∙A нет.

9.

Приведем еще ряд свойств операции
умножения матриц. Если A, B и C квадратные матрицы одного порядка, то
справедливы равенства:
1. A ( B С ) ( A B) C
2. A ( B C ) A B A C
3. ( A B) C A C B C
4. A E E A A

10.

Например.
Найти произведение матриц:
2 3 0
A
1 0 4
1 0
B 1 4
0 2
Число столбцов первой матрицы равно числу строк
второй, следовательно их произведение существует!
2 1 3 1 0 0 2 0 3 4 0 2 5 12
A B
2 3 3 2
1 1 0 1 4 0 1 0 0 4 4 2 1 8

11.

Транспонирование матриц
Транспонированной для матрицы A
называется матрица AT, строки которой
являются столбцами матрицы , а столбцы –
строками . Например, если
5
3
5
9
4
T
A
A 9 2
3 2 1 , то
4
1
Матрицы A (aik ) m, n и B (bik ) m, n называются
равными, если aik bik , i 1, , m , k 1, , n .

12. Свойства операции транспонирования

Дважды транспонированная матрица равна начальной.
Транспонированная матрица суммы равна сумме
транспонированных матриц слагаемых
Транспонированная матрица произведения равна
произведению транспонированных матриц сомножителей,
взятому в обратном порядке

13. Определители второго и третьего порядков (детерминант). Их свойства

Понятие определителя вводится только для
квадратных матриц. Рассмотрим
квадратную матрицу 2го порядка:
a11 a12
A
a 21 a 22
Определителем 2го порядка матрицы
называется число:
a11
( A)
a21
a12
a11 a22 a12 a21
a22

14.

a11 a12
Пусть A a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
– матрица 3го порядка.
Минором элемента aik определителя n-го порядка
называется определитель (n-1)-го порядка,
полученный из исходного путем вычеркивания из
матрицы i -ой строки и k-го столбца, на
пересечении которых стоит данный элемент.
Обозначение: Mij

15.

Алгебраическим дополнением элемента аij
называется минор, взятый со знаком «плюс»,
если сумма (i+j)- четное число, и со знаком
«минус», если эта сумма нечетная.
Обозначение: Аij
Определителем 3го порядка (матрицы )
называется сумма произведений элементов
первой строки матрицы на их
алгебраические дополнения.
a11 a12
( A) a21 a22
a31 a32
a13
a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13
a33

16.

Например:
4 3
1) Пусть A
.
2 5
Тогда
A 4 5 3 2 20 6 26.
2) Пусть
Тогда
2 3 4
A 5
6 7 .
1 4 8
6 7
5 7
5 6
A 2
3
4
2 20 3 47 4 26 285.
4 8
1 8
1 4

17. Свойства определителей:

1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если
все элементы какой-либо строки (или
столбца) равны нулю, то определитель равен 0.
3. Если две строки (два столбца) поменять местами,
то определитель меняет знак.
4. Если элементы какой-либо строки (столбца)
содержат общий множитель, то его можно
вынести за знак определителя.
5. Если в определителе две строки (два столбца)
одинаковы
или
пропорциональны,
то
определитель равен 0.

18.

6.
Справедливо равенство
a11 b11
a21
a31
7.
8.
9.
a12 b12
a22
a32
a13 b13 a11
a23
a21
a33
a31
a12
a22
a32
a13 b11
a23 a21
a33 a31
b12
a22
a32
b13
a23
a33
Определитель не изменится, если к элементам
какой-либо его строки (столбца) прибавить
элементы другой строки (столбца), умноженные
на одно и то же число.
Сумма произведений элементов любой строки
(столбца) на свои алгебраические дополнения
равна самому определителю.
Сумма произведений элементов любой строки
(столбца) определителя на алгебраические
дополнения другой строки (столбца) равна 0.

19.

Числовая иллюстрация свойств:
3 5 8
A 1 9 2 3 104 5 18 8 29 634;
4 7 10
3
1 4
AT 5 9 7 3 104 1 6 4 82 634.
8 2 10

20.

Числовая иллюстрация свойств:
1 2 3
0 0 0
1 3
1 2
2 3
0.
0 0 0 1 2 3 0
0
0
7 5
7 8
8 5
7 8 5
7 8 5

21.

Числовая иллюстрация свойств:
3 5 8
1 3 2 3 23 5 11 8 5 164.
4 7
3
4 7
3
1 3 2 4 34 7 2 3 14 164.
3 5 8

22.

Числовая иллюстрация свойств:
1 2 3
1 2 3 1 14 2 17 3 16 0.
4 8 5

23.

Числовая иллюстрация свойств:
2 1
1
2
1
1
2 1 1
21 42 63 21 1 21 2 21 3 21 1 2 3
3
4
2
3
4
2
3 4 2
21 2 ( 8) 1 ( 11) 1 10 357.

24.

Числовая иллюстрация свойств:
12 1
2
7 5 3 2 5 3 7 3
5
5 2 3
7
3
5 7
3
5 7 3
5 7 3
5 .
5 2 3
5
2
3
5 2 3 5 2 3

25.

Числовая иллюстрация свойств:
1 2 3
1
2
3
1
2
3
2 5 4
2
5
4
2
5
4
8 11 6 2 1 3 2 2 2 3 5 2 3 3 4 2 1 2 2 2 3
1 2
3
1 2 3
1 2 3
2
5
4 2 2 5 4 3 2 5 4 2 0 3 0 0.
3 2 3 5 3 4
1 2 3
2 5 4

26. Обратная матрица.

Матрица A 1 называется обратной к квадратной
матрице A, если A A 1 A 1 A E
A11
1 A12
A 1
( A)
A1n
A21
A22
A2 n
An1
An 2
Ann
Матрица называется вырожденной, если ( A) 0 ;
в противном случае A – невырожденная
матрица.
Теорема. Для того, чтобы матрица
имела
обратную, необходимо и достаточно, чтобы она
была невырожденной, т.е. ( A) 0 .

27.

Например:
1
2 3
Найти обратную матрицу для A 2 0 1 .
2 3 1
Имеем:
0 1
a 1 A11
3;
3 1
11
2
2 0
4
2 1
a
1
A
6;
13
a 1 A12
4; 13
2
3
2 1
2 3
a 1 A21
11;
3 1
21
3
a 31
1 A31
4
2 3
2;
0 1
Таким образом:
3
12
a
22
1 3
1 2
5
1 A22
5; a 23 1 A23
7;
2 1
2 3
4
1 3
a 1 A32
7;
2 1
32
5
3
4 6
A 11 5 7 .
2 7 4
1 2
a 1 A33
4.
2 0
33
6

28.

Тогда
3 11 2
T
A 4 5 7 .
6 7
4
Вычисляя определитель матрицы A, получаем
|A|=29.
Теперь по формуле:
3
29
1
4
1
T
A
A
29
29
6
29
11
29
5
29
7
29
2
29
7
.
29
4
29

29.

Теорема. Если A и B невырожденные
квадратные матрицы одинакового
порядка, то
( A B) 1 B 1 A 1

30. Ранг матрицы.

a11
a21
A
Рассмотрим матрицу A размера m×n : ...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
Наивысший (максимальный) порядок отличных от нуля
миноров матрицы называется рангом этой матрицы
(rangA или r(A)).
Любой минор матрицы порядка r, отличный от нуля,
называется базисным минором.

31. Метод вычисления ранга матрицы

1. При
вычислении ранга матрицы нужно
переходить от миноров меньших порядков
к минорам больших порядков;
2. Если уже найден минор k-го порядка d
отличный от нуля, то требуют вычисления
лишь
миноры
k+1-го
порядка,
окаймляющие минор d. Если все они равны
нулю, то ранг матрицы равен k.

32. Свойства ранга матрицы

1) Если матрица A имеет размеры m×n, то
rangA min( m, n);
1) rangA 0 тогда и только тогда, когда все элементы
матрицы A равны нулю;
2) если матрица A - квадратная матрица порядка n,
то rangA=n тогда и только тогда, когда
определитель матрицы ( A) 0 .

33.

Обозначим строки (столбцы) матрицы A через
С i , i 1,2,...m.
Строки (столбцы) матрицы C1, C2 ,..., Cm называются
линейно зависимыми, если существуют такие числа
1 , 2 ,..., m , не равные одновременно нулю, что линейная
комбинация строк (столбцов) матрицы равна нулевой
строке:
1C1 2C2 ... mCm ,
где (0,0,...,0).
В противном случае строки матрицы называются
линейно независимыми.
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен
максимальному числу ее линейно независимых строк
(столбцов) (rangA или r(A)).

34. Элементарные преобразования матрицы

1. Отбрасывание нулевой строки(столбца) матрицы.
2. Умножение
всех элементов строки(столбца)
матрицы на число , неравное нулю.
3. Изменение порядка строк(столбцов)матрицы.
4. Прибавление
к каждому элементу одной
строки(столбца)
элементов
другой
строки
(столбца), умноженных на любое число.
5. Транспонирование матрицы.

35.

Элементарные преобразования не
меняют ранг матрицы.
С помощью элементарных
преобразований матрицу можно привести к
ступенчатому виду:
a11
0
A
...
0
a12
a22
...
0
...
...
...
...
a1r
a2 r
...
arr
...
...
...
...
a1k
a2 k
,
...
ark
где aii 0, i 1,2,..., r; r k.
Ранг ступенчатой матрицы равен r.