Линейная алгебра (8)

1. Линейная алгебра

2. Матрицы

3.

Определение: Матрицей называется прямоугольная
таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов,
записанная в виде:
a11 a12 ... a1n
a
(1)
a22 ... a2 n
21
A
... ... ... ...
am1 am 2 ... amn
Числа,
составляющие
матрицу, называются
элементами матрицы.
В общем случае рассматриваются матрицы с любым
количеством строк и столбцов.
Размерность матрицы (1) – m n .

4.

Кратко матрицу возможно записать следующим
образом:
A aij i 1, m, j 1, n , где a ij – элементы
данной матрицы.
Элементы матрицы образуют строки и столбцы.
Первый индекс i – указывает номер строки, а второй j –
номер столбца, на пересечении которых стоит элемент
.
a ij

5. Виды матриц

1. Квадратная матрица, если m n .
2. Прямоугольная матрица, если m n .
3. Вектор-строка, если m 1, n 1 : a11 a12 a1n .
4. Вектор-столбец, если m 1, n 1 : a11 .
a21
...
a
m1

6.

Определение: Квадратная матрица, у которой
элементы главной диагонали отличны от нуля, а все
остальные элементы равны нулю, называется
диагональной матрицей:
a11
0
A
...
0
0
a 22
...
0
... 0
... 0
... ...
... a nn
где совокупность элементов a11 , a22 ,..., ann
называется главной диагональю матрицы.
(2)

7.

Определение: Диагональная матрица, у которой все
элементы главной диагонали равны единице,
называется единичной матрицей:
1
0
E
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1
(3)
Определение: Две матрицы Amn aij и Bmn bij
равны, если равны элементы, стоящие на одинаковых
местах, то есть если aij bij , при этом число строк и
столбцов матриц A и B должно быть одинаковым.

8. Действия над матрицами

9.

1. Суммой двух матриц A aij и B bij
с
одинаковым количеством строк (i 1, m, j 1, n) и
столбцов, называется матрица С сij (i 1, m, j 1, n),
элементы которой определяются равенством:
cij aij bij .
Пример:
3 2 4 2 4 1
C A B 1 3 5 5 4 0
1 7 5 2 3 1
3 2 2 ( 4) 4 1 5 6 5
1 5 3 ( 4) 5 0 4 1 5 .
1 ( 2) 7 ( 3) 5 1 1 4 4

10.

Замечание: Аналогично определяется сумма
любого определённого числа матриц. Сложение
матриц
подчиняется
переместительному
и
сочетательному закону сложения.
A B B A
A B C A B C A B C
Разность двух матриц
аналогично сij aij bij .
С А B
определяется

11.

2. Произведением матрицы A aij (i 1, m, j 1, n)
на постоянное число называется
матрица, у которой
каждый
элемент
равен
произведению
соответствующего элемента матрицы на число .
A aij aij
i 1, m, j 1, n
1 0 2
Пример: A 2 1 0 , 3.
0 2 1
1 0 2 3 1 0 3 3 2 3 0 6
A 3 2 1 0 3 2 3 1 3 0 6 3 0 .
0 2 1 3 0 3 2 3 1 0 6 3

12.

3. Произведением матрицы A aij , имеющей m
cтрок и k столбцов, на матрицу B bij , имеющую k
строк и n столбцов называется матрица С сij ,
имеющая m строк и n столбцов, каждый элемент
которой равен сумме произведений элементов i-ой
строки матрицы А и j-ого столбца матрицы B:
cij ai1b1 j ai 2 b2 j ... aik bkj
i 1, m, j 1, n
Замечание: При умножении матриц должно
выполняться условие согласованности: число столбцов
матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B.

13.

Пример: Найти произведение матриц A B и B A .
1 2 1
A
3
1
2
2 1
B 1 3
0 1
Решение:
2 1
1 2 1
1 2 2 1 1 0 1 ( 1) 2 3 1 1 4 6
A B
1 3
3
1
2
3
2
1
1
2
0
3
(
1)
1
3
2
1
7
2
0 1
2 1
2 1 ( 1) 3 2 2 ( 1) 1 2 1 ( 1) 2 1 3 0
1 2 1
B A 1 3
1
1
3
3
1
2
3
1
1
1
3
2
10
5
7
3
1
2
0 1 1 3
0 1
0 2 1 1
0 1 1 2 3 1 2
Таким образом, умножение матриц не подчиняется
переместительному закону умножения: AB BA .

14.

4. Умножение на единичную матрицу: умножение
квадратной матрицы A любого порядка на
соответствующую единичную матрицу не изменяет
исходной матрицы А: AЕ ЕA А.
a11 a12
, то
Если матрица А имеет вид: A
a21 a22
a11 a12 1 0 a11 1 a12 0 a11 0 a12 1 a11 a12
A E
a21 a22 0 1 a21 1 a22 0 a 21 0 a22 1 a21 a22
1 0 a11 a12 1 a11 0 a21 1 a12 0 a22 a11 a12
E A
0 1 a21 a22 0 a11 1 a21 0 a12 1 a22 a21 a22

15.

5. Транспонирование матриц.
Т
А
Определение: Матрица
называется
транспонированной по отношению к данной матрице,
если в матрице А
поменять местами столбцы и
строки.
a11 a12 a13
a11 a21 a31
Если A a21 a22 a23 , то AТ a12 a22 a32
a
a
a
a
a
a
33
23
33
31 32
13

16. Определители

17.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с
двумя неизвестными:
a1 x b1 y h1;
(1)
a2 x b2 y h2 .
Определение: Определителем второго порядка,
составленным из коэффициентов при неизвестных
системы линейных уравнений (1), называется
число, определяемое равенством:
a1 b1
(2)
a1b2 b1a2
a2 b2
Пример:
3 4
6 20 26
5 2

18.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с
тремя неизвестными: a1 x b1 y c1 z h1;
(3)
a2 x b2 y c2 z h2 ;
a x b y c z h .
3
3
3
3
Определение: Определителем третьего порядка,
соответствующим системе линейных уравнений (3),
называется число, обозначаемое символом:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
и определяемое равенством:
a1b2c3 c1a2b3 b1c2 a3 c1b2 a3 a1c2b3 b1a2c3
(4)

19.

Числа а1, а2, а3, b1, b2, b3, с1, с2, с3 называются
элементами определителя.
Диагональ, образованная элементами – а1, b2, с3
называется главной, а диагональ, образованная
элементами с1, b2, а3 – побочной.
Число строк и столбцов определителя всегда
совпадает и соответствует порядку определителя.
Правило
треугольников
для
определителя третьего порядка:
Δ=+
вычисления

20.

Определение: Минором некоторого элемента
определителя называется определитель, получаемый
из данного определителя вычёркиванием строки и
столбца, на пересечении которых расположен этот
элемент ( M ij , где i – порядковый номер строки, j –
порядковый номер столбца).
a1
Если определитель имеет вид: a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2 ,
c3
то миноры элементов а1 и b3 определяются по
формулам:
a1 c1
b2 c2
M 11
; M 32
.
a2 c2
b3 c3

21.

Определение:
Алгебраическим
дополнением
некоторого элемента определителя называется
минор этого элемента, умноженный на 1 k, где k –
сумма номера строки и номера столбца, на
пересечении которых расположен этот элемент.
Алгебраические дополнения элементов а1, b1, с1 и
т.д. обозначают соответственно A11 , A12 , A13 и т.д.
1 1
А11 ( 1) M11 M11;
A32 ( 1)3 2 M 32 M 32 .

22.

Теорема.
Определитель
(4)
равен
сумме
произведений элементов какой-либо строки (столбца)
на их алгебраические дополнения, то есть
a1 A11 b1 A12 c1 A13
(5)
(6)
a1 A11 a2 A21 a3 A31
(5) – разложение определителя по элементам
первой строки и определяется равенством:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
b
1 1 2
c2 a1 ( 1)
b3
c3
c2
a2
1 2
b1 ( 1)
c3
a3
c2
a
1 3 2
c1 ( 1)
c3
a3
a1 b2 c3 b3 c2 b1 a2 c3 a3 c2 c1 a2 b3 a3b2
b2
b3

23.

(6) – разложение определителя по элементам
первого столбца.
Замечание: Раскладывать определитель можно по
элементам любой строки или столбца. Вычисление
определителей упрощается, если среди элементов
строки или столбца есть нули.

24.

Пример:
Вычислить определитель
2 3 4 порядка:
третьего
1 0 1 .
2 6 5
Решение:
Разложим определитель по элементам первой
строки:
2 3 4
2 3
4
2 3 4
1 0 1 3 ( 1)1 2 1 0 1 0 A22 6 ( 1)3 2 1 0 1
2 6 5
2 6 5
2 6 5
3 (1 5 ( 2) ( 1)) 6 (2 ( 1) 4 1) 3 3 6( 6) 36 9 27.

25. Свойства определителей

26.

1. Величина определителя не изменится, если его
строки и столбцы поменять местами:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1 a1
c 2 b1
c3 c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
Данное свойство устанавливает равноправность
строк и столбцов определителя.

27.

2.
Перестановка
двух
строк
(столбцов)
определителя равносильна умножению его на (-1):
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
a2
c2 a1
c3
a3
b2
b1
b3
c2
c1
c3
3. Если определитель имеет две одинаковые
строки (столбца), то он равен нулю:
a1
a1
a3
b1
b1
b3
c1
c1 0
c3

28.

4. Постоянный множитель какой-либо строки
(столбца) определителя можно выносить за знак
определителя:
a1 b1
a 2 b2
a3 b3
c1
a1
c2 a2
c3
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
5. Если все элементы некоторой строки (столбца)
равны нулю, то определитель равен нулю:
0
a2
a3
0
b2
b3
0
c2 0
c3

29.

6. Если элементы двух строк (столбцов)
пропорциональны, то определитель равен нулю:
a1
a1
a3
b1
b1
b3
c1
c1 0
c3
7. Если каждый элемент n-ого столбца (n-ой
строки) определителя представляет собой сумму
двух слагаемых, то определитель может быть
представлен в виде суммы двух определителей:
a1' a1"
a 2' a 2"
a3' a3"
b1
b2
b3
c1 a1'
c 2 a 2'
c3 a 3'
b1
b2
b3
c1 a1"
c 2 a 2"
c3 a 3"
b1
b2
b3
c1
c2
c3

30.

8. Если к элементам какой-либо строки (столбца)
определителя прибавить соответствующие элементы
другой строки (столбца) определителя, умноженные
постоянный множитель
, то величина
определителя не изменится:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1 a1 a 2
c2
a2
c3
a3
b1 b2
b2
b3
c1 c2
c2
c3
Все рассмотренные свойства определителей
третьего
порядка,
относятся
также
и
к
определителям любого порядка.

31.

Пример:
Вычислить определитель
порядка:
1 1 0
1
2 1 0 1
3 1 2 1
1 1 2 1
четвертого
Решение:
Преобразуем определитель в соответствии со
свойством 8 таким образом, чтобы в первом столбце
получились нули. Для этого первую строку умножим на
-2 и сложим со второй, результат запишем во вторую
строку; первую строку умножим на -3 и сложим с
третьей, результат запишем в третью строку; первую
строку умножим на 1 и сложим с четвертой, результат
запишем в четвертую строку. Далее определитель
разложим по элементам первого столбца:

32.

1 1
2 1
3 1
1 1
1 0
1 1 1 0
1 2 1
0 1 0 1 2 1
1 ( 1)1 1 2 1 1
2 1
0 2 1 1
0 3 1
2 1
0 0 3 1
Получили определитель третьего порядка, который
преобразуем опять, чтобы в первом столбце
получились нули. Для этого первую строку умножим
на -2 и сложим со второй, третью оставим без
изменения и разложим по элементам первого столбца:
1 2 1 1 2 1
1 1 3 3
2 1 1 0 3 3 1 ( 1)
3 9 6
3 1
0 3 1
0 3 1

33. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

34.

Рассмотрим систему трёх уравнений с тремя
неизвестными:
a x b y c z h ;
1
1
1
1
a 2 x b2 y c2 z h2 ;
a x b y c z h .
3
3
3
3
(7)
где а1, а2, а3, b1, b2, b3, с1, с2, с3 – коэффициенты
системы линейных уравнений, h1, h2, h3, – свободные
коэффициенты.
Определение: Тройка чисел х0, y0, z0 – называется
решением системы (7), если в результате
подстановки этих чисел вместо x, y, z все уравнения
системы (7), обращаются в тождества.

35.

При решении системы (7) основную роль будут
играть четыре определителя:
a1
a2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
h1
x h2
h3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
a1
y a2
a3
h1
h2
h3
c1
c2
c3
a1
z a2
a3
b1
b2
b3
h1
h2
h3
где – главный определитель системы, x, y, z
вспомогательные определители.

36.

Если определитель системы (7) отличен от 0, то
существует и притом, единственное решение этой
системы, которое выражается формулами:
x
y
z
(8)
x
; y
; z .
(8) – формулы Крамера для решения системы (7).
Пример: Решить систему уравнений:
x 2 y z 3;
2 x 3 y z 1;
x y z 3.

37.

Вычислим главный определитель системы:
1 2 1
2 3 1 3 2 2 3 1 4 9.
1 1 1
Вычислим вспомогательные определители:
3 2 1
x 1 3 1 9 6 1 9 3 2 18,
3 1 1
x 18
x
2;
9

38.

1 3 1
y 2 1 1 1 3 6 1 3 6 18,
1 3 1
y 18
y
2;
9
1 2 3
z 2 3 1 9 2 6 9 1 12 9,
1 1 3
z 9
z
1.
9
Следовательно, решение данной системы имеет
вид:
x 2, y 2, z 1.

39. Матричный метод решения систем линейных уравнений

40.

Определение: Обратной для матрицы А называется
такая матрица A 1 , которая удовлетворяет условию:
(9)
А А 1 А 1 А Е
где Е – единичная матрица.
Для существования обратной матрицы необходимо
и достаточно, чтобы определитель квадратной
матрицы был отличен от нуля.
Обратная матрица определяется по формуле:
A11
1
1
A
A12
A13
A21
A22
A23
A31
A32
A33
(10)

41.

Рассмотрим систему линейных уравнений и введём
обозначения:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 h1;
a21 x1 a22 x2 a23 x3 h2 ;
(11)
a x a x a x h .
3
31 1 32 2 33 3
a11 a12 a13
x1
h1
A a21 a22 a23 , X x2 , H h2 , где
a
x
h
a
a
33
31 32
3
3
А – матрица системы (11), Х – вектор-столбец
неизвестных переменных системы (11), Н – векторстолбец свободных коэффициентов системы (11).

42.

Тогда, используя правило умножения матриц,
систему линейных уравнений (11) можно записать в
эквивалентном матричном виде:
(12)
A X H
Решением системы уравнений, записанной в
матричном виде (12), является вектор – столбец,
определяемый по формуле:
1
(13)
X A H

43.

Для того чтобы убедиться, что полученное
выражение является решением системы линейных
уравнений (1), сделаем подстановку:
A X A A 1 H E H H .
Пример: Решить систему уравнений матричным
методом:
x 2 y z 1;
2 x y z 1;
x 3 y z 2.

44.

Решение:
1 2 1
x
1
2 1 1 , Х y , Н 1 .
A
Введем обозначения:
1 3 1
z
2
Найдем обратную матрицу:
1 2 1
2 1 1 1 0 обратная матрица существует.
1 3 1

45.

Найдем алгебраические дополнения каждого
элемента:
1 1 1 1
2 1 2 1
A11 ( 1)
2, A21 ( 1)
1,
3 1
3 1
3 1 2 1
1 2 2 1
A31 ( 1)
1, A12 ( 1)
1,
1 1
1 1
2 2 1 1
3 2 1 1
A22 ( 1)
0, A32 ( 1)
1,
1 1
2 1
1
1 3 2
2 3 1 2
A13 ( 1)
5, A23 ( 1)
1,
1 3
1 3
2
3 3 1
A33 ( 1)
3.
2 1

46.

Тогда обратная матрица примет вид:
2 1 1
1
1
A 1 0 1
1
5
1
3
Найдем решение системы:
2 1 1 1 2 1 2 1
X A 1 H 1 0 1 1 1 0 2 1 .
5 1 3 2 5 1 6 0
Таким образом, решением системы является тройка
чисел:
x 1; y 1; z 0.

47. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

48.

Метод Гаусса заключается в последовательном
исключении неизвестных.
Все
преобразования,
связанные
с
последовательным исключением неизвестных более
удобно проводить,
используя элементарные
преобразования расширенной матрицы.

49.

Под элементарными преобразованиями
понимают:
1. замену строк столбцами, а столбцов –
соответствующими строками;
2. перестановку строк матрицы;
3. вычёркивание строки, все элементы которой
равны нулю;
4. умножение какой – либо строки на число,
отличное от нуля;
5. прибавление к элементам какой – либо строки
соответствующих элементов другой строки.

50.

Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса:
x 1 x2 x3 x4 4;
2 x x 3 x 2 x 1;
1 2
3
4
x1 x3 2 x4 6;
3 x1 x2 x3 x4 0.
Решение:
Выпишем расширенную матрицу системы и
преобразуем ее к ступенчатому виду:
1 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4
0 1 2 ~
2 1 3 2 1 ~ 0 3 5 4 7 ~ 0 1
A1
1 0 1 2 6 0 1 0
1 2 0 3 5 4 7
3 1 1 1 0 0 4 4 4 12 0 1 1 1 3

51.

1
~ 0
0
0
1 1 1 4
1
1 0 1 2 ~ 0
0
0 5 7 13
0
0 1 2 5
1
1 1 1 4
~
1 0 1 2
0
0
0 1 2 5
0
0 0
3 12
1 1 1 4
1 0 1 2
0 1 2 5
0 0
1 4
Последней
матрице
соответствует
система
линейных уравнений: x1 x2 x3 x4 4;
x2
x4 2;
x3 2 x4 5;
x4 4.
Из
которой
последовательно
определяем
неизвестные.
Ответ: 1; 2; 3; 4

52. Ранг матрицы

53.

Рассмотрим прямоугольную матрицу:
a11 a12 ... a1n
a
a
...
a
22
2n
A 21
... ... ... ...
am1 am 2 ... amn
Выделим в этой матрице k произвольных строк и k
произвольных столбцов k m, k n .
Определение:
Определитель
k-го
порядка,
составленный
из
элементов
матрицы
А,
расположенных на пересечении выделенных строк и
столбцов называется минором k-го порядка матрицы
А.

54.

Рассмотрим всевозможные миноры матрицы А,
отличные от нуля.
Определение: Рангом матрицы А называется
наибольший порядок минора этой матрицы,
отличного от нуля.
Определение: Всякий отличный от нуля минор
матрицы, порядок которого равен рангу этой
матрицы, называется базисным минором матрицы.
Ранг матрицы обозначают – r ( A).
Если r ( A) r ( B) , то матрицы А и В называются
эквивалентными. В этом случае пишут А ~ В .
Ранг матрицы не изменится от элементарных
преобразований.

55.

Пример. Определить ранг матрицы:
1 2 3 4
A 2 4 6 8
3 6 9 12
Решение:
Все миноры третьего и второго порядка, которые
можно построить из элементов матрицы А равны
нулю, так как элементы строк и столбцов матрицы
пропорциональны. А миноры первого порядка
отличны от нуля.
Следовательно, r ( A) 1.

56.

3 5 7
Пример. Определить ранг матрицы: A 1 2 3
1 3 5
Решение:
Поменяем местами первую и вторую строки и
преобразуем матрицу к ступенчатому виду:
3 1 2 3
3 5 7 1 2 3 1 2
1 2 3
A 1 2 3 ~ 3 5 7 ~ 0 1 2 ~ 0 0 0 ~
0 1 2
1 3 5 1 3 5 0 1
2 0 1 2
Так как миноры второго порядка отличны от нуля,
например, 1 2 1 0 1 0, то ранг равен 2.
0 1

57. Исследование систем m линейных уравнений с n неизвестными

58.

Пусть дана система m линейных уравнений с n
неизвестными:
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1;
a x a x a x b ;
21 1 22 2
2n n
2
(14)
..............................................
am1 x1 am 2 x2 amn xn bm .
Определение: Решением системы (14) называется
совокупность чисел ( x1 , x2 , , xn ) , которые в
результате их подстановки вместо неизвестных
обращают каждое уравнение системы (14) в
тождество.

59.

Определение: Система уравнений (14) называется
совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Если же система не имеет решения, то она
называется несовместной.
Определение: Совместная система называется
определённой, если она имеет единственное
решение, и неопределённой, если она имеет больше
одного решения.

60.

Матрицы А и А1 называются соответственно
матрицей и расширенной матрицей системы m
линейных уравнений с n неизвестными:
a11 a12
a
a22
21
A
... ...
am1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2 n b2
A1
... ... ... ... ...
am1 am 2 .... amn bm

61.

Теорема Кронекера – Капели:
Для совместности системы (14) необходимо и
достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен
рангу ее расширенной матрицы r A r A1 r.
Если ранг совместной системы равен числу
неизвестных ( r n ), то система определена
(единственное решение). Если ранг совместной
системы меньше числа неизвестных ( r n ), то
система – неопределенна (множество решений).
Система противоречива и не имеет решения, если
ранг матрицы меньше ранга расширенной матрицы:
r A r A1 .

62.

Пример.
Исследовать
систему
линейных
уравнений на совместность и решить её, если она
совместна: x1 3 x2 5 x3 7 x4 9 x5 1;
x1 2 x2 3 x3 4 x4 5 x5 2;
2 x 11x 12 x 25 x 22 x 4.
2
3
4
5
1
Решение:
Преобразуем расширенную матрицу:
1 3 5 7 9 1
A1 1 2 3 4 5 2
2 11 12 25 22 4
1 3 5 7 9 1 1 3 5 7 9 1
0
5
2
11
4
1
0
5
2
11
4
1
0 5 2 11 4 2 0 0 0 0 0 3
Система несовместна, так как r A 2 r A1 3.

63.

Пример.
Исследовать
систему
линейных
уравнений на совместность и решить её, если она
совместна: x 1 2 x2 3x3 14;
3 x 2 x x 10;
2
3
1
x1 x2 x3 6;
2 x 3 x x 5;
2
3
1
x1 x2 3.
Решение:
Преобразуем расширенную матрицу:
1
3
A1 1
2
1
2 3 14
2 1 10
1 1 6
3 1 5
1 0 3
1
0
0
0
0
2
4
1
1
1
3 14
8 32
2 8
7 23
3 11
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
3 14
2 8
0 0
5 15
1 3
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
3 14
2 8
1 3
0 0
0 0

64.

Система совместна и определена, так как
r A 3 r A1 3 и n 3 r 3.
Последней матрице
соответствует система
линейных уравнений:
x1 2 x2 3 x3 14;
x2 2 x3 8;
x3 3.
Из
которой
последовательно
определяем
неизвестные:
x3 3, x2 8 2 x3 2, x1 14 2 x2 3 x3 1.
Ответ: 1; 2; 3 .

65.

Пример.
Исследовать
систему
линейных
уравнений на совместность и решить её, если она
совместна: x1 5 x2 4 x3 3 x4 1;
2 x1 x2 2 x3 x4 0;
5 x 3 x 8 x x 1.
2
3
4
1
Решение:
Преобразуем расширенную матрицу:
1 5 4 3 1
A1 2 1 2 1 0
5 3 8 1 1
1 5 4 3 1
0
11
6
7
2
0 22 12 14 4
1 5 4 3 1
0
11
6
7
2
0 0 0 0 0
Система совместна и неопределена, так как
r A 2 r A1 2 n 4.

66.

За базисные неизвестные возьмем x1 , x2 , тогда
свободные неизвестные x3 , x4 .
Последней матрице
соответствует система
линейных уравнений: x1 5 x2 4 x3 3x4 1;
11x2 6 x3 7 x4 2.
Перепишем систему в виде: x1 5 x2 1 4 x3 3 x4 ;
11x2 2 6 x3 7 x4 .
И последовательно определим неизвестные:
2 6
7
x2 x3 x4 ,
11 11
11
10 30
35
1 14
2
x1 1 4 x3 3x4 5 x2 1 4 x3 3x4 x3 x4 x3 x4 .
11 11
11
11 11
11
Ответ:
1 14
2
2 6
7
x3 x4 ; x3 x4 ; x3 ; x4 R
11 11 11
11
11 11