Глава 3. Линейная алгебра. §1. Матрицы

1.

2. Глава 3. Линейная алгебра

3. § 1. Матрицы

4.

Определение.
Матрицей размера m n (или
числовой матрицей) называется
прямоугольная таблица,
образованная из mn чисел и
состоящая из m строк и n столбцов
(m, n N).

5.

Матрицы записывают в виде:
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n ,
.............................
am1 am 2 ... amn
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n ,
.............................
a
a
...
a
mn
m2
m1

6.

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
,
.............................
am1 am2 ... amn
или более кратко: [aij], (aij), aij
соответственно.

7.

Числа aij (i 1, m, j 1, n) называются
элементами матрицы; ai1, ai2, …, ain
(i 1, m) – элементы i-й строки;
a1j, a2j, …, amj ( j 1, n) – элементы
j-го столбца. Матрицы обозначают:
A, B, C, … .

8.

Две матрицы A [aij] и B [bij]
размера m n называются равными,
если aij bij (i 1, m, j 1, n); пишут:
A B.

9.

Нулевая матрица
(обозначается О) – матрица размера
m n, все элементы которой равны
нулю.

10.

Матрица, состоящая из одной
строки, называется матрицейстрокой, а состоящая из одного
столбца – матрицей-столбцом.
Трапециевидной матрицей
называется матрица вида

11.

a11 a12 ... a1r ... a1n
0 a22 ... a2r ... a2n
...........................................
0 0 ... arr ... arn ,
0 0 ... 0 ... 0
...........................................
0 0 ... 0 ... 0
где aii 0 (i 1, r ).

12.

Прямоугольной называется
матрица размера m n, у которой
m n.
Матрица размера n n называется
квадратной порядка n.

13.

Главной диагональю квадратной
матрицы A [aij] порядка n
называется совокупность элементов
aii (i 1, n), а побочной диагональю –
совокупность элементов ai n–i+1
(i 1, n).

14.

Диагональной называется
квадратная матрица, у которой все
элементы, расположенные вне
главной диагонали, равны нулю.

15.

Единичная матрица
(обозначается Е) – диагональная
матрица, у которой все элементы,
стоящие на главной диагонали,
равны единице.

16.

Квадратная матрица называется
треугольной, если все ее элементы,
расположенные по одну сторону от
главной диагонали, – нули.

17.

Если элементами матрицы
являются функции, то матрица
называется функциональной.

18.

19. § 2. Операции над матрицами

20.

Определение.
Суммой матриц A [aij] и B [bij]
размеров m n называется матрица
A + B [aij + bij] размера m n
(i 1, m, j 1, n).

21.

Определение.
Произведением матрицы A [aij]
размера m n на число λ (λ R)
называется матрица λA [λaij]
размера m n (i 1, m, j 1, n).

22.

Матрица –A (–1)A называется
противоположной матрице A.
Разностью матриц A и B
называется матрица A – B A + (–B).

23.

Определение.
Произведением матрицы A [aik]
размера m n на матрицу B [bkj]
размера n p называется матрица
AB [ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j +…+ ainbnj]
размера m p (i 1, m, k 1, n, j 1, p).

24.

Операция произведения матриц
A и B определена для согласованных
матриц, т.е. когда количество
столбцов матрицы A равно
количеству строк матрицы B.

25.

Если AB BA, то матрицы A и B
называются перестановочными (или
коммутирующими).

26.

Определение.
k-й степенью (k N) квадратной
матрицы A называется матрица Ak
k
такая, что A AA...A .
k раз
По определению, A0 E.

27.

Операции над матрицами
обладают свойствами:
1) A + B B + A,
2) (A + B) + C A + (B + C),
3) λ(μA) (λμ)A (λ, μ R),
4) (λ + μ)A (λA + μA) (λ, μ R),

28.

5) λ(A + B) = λA + λB (λ R),
6) A(BC) (AB)C,
7) A(B + C) AB + AC.

29.

Определение.
Матрицей, транспонированной по
отношению к матрице A [aij]
размера m n называется матрица
AT [aji] размера n m.

30.

Переход от A к AT называется
транспонированием.

31.

Операция транспонирования
обладает свойствами:
1) (AT)T = A,
2) (λA)T λAT (λ R),
3) (A + B)T AT + BT,
4) (AB)T BTAT.

32.

33. § 3. Определители

34.

Если A [a11], то определителем
первого порядка называется число
a11.

35.

Определение.
a11
Если A
a
21
a12
, то
a22
определителем второго порядка
называется число

36.

a11 a12
a11a22 a12a21.
a21 a22

37.

Определение.
a11 a12
Если A a21 a22
a
a
31
32
a13
a23 , то
a33
определителем третьего порядка
называется число

38.

a11 a12 a13
a22 a23
a21 a23
a21 a22
a21 a22 a23 a11
a12
+ a13
.
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a31 a32 a33

39.

Для вычисления определителя
третьего порядка можно
использовать правило
треугольников:

40.

a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 + a12a23a31 +
a31 a32 a33
+ a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 –
– a11a23a32.

41.

42.

Если A [aij] (i, j 1, n, n N), то
определитель n-го порядка
записывают в виде

43.

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
,
.............................
an1 an 2 ... ann
где aij (i, j 1, n) называются
элементами определителя.

44.

Определитель матрицы A
обозначают: Δ, detA, |A|.

45.

Определение.
Минором Mij элемента aij
определителя n-го порядка (n > 1)
называется определитель (n –1)-го
порядка, полученный из исходного
вычеркиванием i-й строки и j-го
столбца.

46.

Определение.
Алгебраическим дополнением Aij
элемента aij определителя n-го
порядка называется число
Aij (–1)i+jMij.

47.

Определитель n-го порядка
матрицы A [aij] можно вычислять:
1) путем разложения по
элементам i-й строки:
n
ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain aik Aik ;
k 1

48.

2) путем разложением по
элементам j-го столбца:
n
a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj akj Akj .
k 1

49.

Определители обладают
следующими свойствами:
1) если все элементы какоголибо ряда определителя равны
нулю, то определитель равен
нулю;

50.

2) при перестановке двух строк
(столбцов) определитель изменит
знак на противоположный;
3) определитель, содержащий две
одинаковых строки (столбца), равен
нулю;

51.

4) если все элементы некоторой
строки (столбца) определителя
умножить на число k (k R), то
исходный определитель умножится
на это число;

52.

5) если соответствующие
элементы двух строк (столбцов)
определителя пропорциональны, то
он равен нулю;

53.

6) определитель не изменится,
если к элементам какой-либо строки
(столбца) прибавить
соответствующие элементы другой,
умноженной на одно и то же число;

54.

Справедливы формулы:
|AB| |A||B|,
|An| |A|n (n N),
|AT| |A|.

55.

56. § 4. Обратная матрица

57.

Квадратная матрица А называется
невырожденной (или неособенной)
если |A| 0. В противном случае A –
вырожденная (или особенная).

58.

Определение.
Матрица A–1 называется обратной
матрицей для квадратной матрицы
А, если
AA–1 A–1A E,
где E – единичная матрица.

59.

Теорема.
Матрица А имеет обратную тогда
и только тогда, когда матрица А –
невырожденная.

60.

Если A [aij] (i, j 1, n), то
A11 A21 ... An1
1 A12 A22 ... An 2
1
A
,
A .............................
A1n A2n ... Ann

61.

где |A| – определитель матрицы А,
Aij – алгебраические дополнения
элементов aij матрицы А.

62.

Обратная матрица обладает
свойствами:
1
1
1) A ,
A
2) (A–1)–1 A,

63.

3) (AB)–1 B–1A–1,
4) (Ak)–1 (A–1)k (k N),
5) (AT)–1 (A–1)T.

64.

65. § 5. Ранг матрицы

66.

Определение.
Рангом матрицы называется
наивысший порядок отличных от
нуля ее миноров.
Ранг матрицы A обозначают:
r(A), rA, rank A.

67.

Базисным минором матрицы
называется любой отличный от нуля
минор порядка r r(A).

68.

Метод окаймляющих миноров.
Если в матрице A найден ненулевой
минор Mk порядка k (k N), а все
окаймляющие его миноры (k +1)-го
порядка равны нулю, то ранг
матрицы A равен k.

69.

70. § 6. Системы линейных алгебраических уравнений

71.

Определение.
Системой m линейных
алгебраических уравнений с n
неизвестными x1, x2, …, xn
называется система вида

72.

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn b1,
a21x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn b2 ,
.............................................
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn bm ,

73.

где aij (i 1, m, j 1, n) –
коэффициенты системы; bi (i 1, m) –
свободные члены; m, n N.

74.

Решением системы называется
совокупность n значений
неизвестных, удовлетворяющих
одновременно всем уравнениям
системы.

75.

Система уравнений называется
совместной, если она имеет хотя бы
одно решение. В противном случае
система называется несовместной.

76.

Система называется
определенной, если она имеет
единственное решение.

77.

Решить систему – значит
определить, совместна она или нет,
и в случае совместности найти
множество всех ее решений.

78.

Матрица
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A
.............................
am1 am 2 ... amn
называется матрицей (или основной
матрицей) системы.

79.

Матрица
a11 a12 ... a1n b
1
a21 a22 ... a2n b2
[ A B]
............................. ...
am1 am 2 ... amn bm
называется расширенной матрицей
системы

80.

Теорема Кронекера – Капелли.
Система линейных алгебраических
уравнений совместна тогда и только
тогда, когда r(A) r([A|B]).

81.

Определение.
Определителем системы n
линейных уравнений с n
неизвестными называется
определитель Δ матрицы этой
системы.

82.

Если Δ 0, то система имеет
единственное решение и называется
невырожденной.
Если Δ 0, то система не имеет
решения или имеет бесконечное
множество решений и называется
вырожденной.

83.

Для решения невырожденной
системы используют метод Крамера
и метод обратной матрицы.

84.

Метод Крамера. Необходимо:
1) вычислить определитель Δ
системы;
2) в определителе Δ заменить
поочередно i-й столбец столбцом
свободных членов и вычислить
соответствующие определители Δi ;

85.

3) вычислить значения
x1, x2, …, xn по формулам Крамера:
1
2
n
x1 , x2 , ..., xn ;
4) записать решение (x1, x2,…, xn).

86.

Метод обратной матрицы.
Необходимо:
1) записать систему в матричном
виде: AX B, где A – матрица
системы, X – матрица-столбец
неизвестных, B – матрица-столбец
свободных членов;

87.

2) решить матричное уравнение
X A–1B;
3) записать решение (x1, x2,…, xn).

88.

Основным методом решения
произвольных систем является
метод Гаусса. Он базируется на
понятии элементарных
преобразований строк матрицы
системы.

89.

Элементарными
преобразованиями строк матрицы
называются:
1) перестановка строк;
2) умножение строки на одно и то
же число λ (λ
0);

90.

3) прибавление к строке матрицы
другой строки, умноженной на
некоторое число.
В результате элементарных
преобразований строк матрицы A
получают эквивалентную матрицу
B; пишут: A ~ B.

91.

Метод Гаусса. Необходимо:
1) записать расширенную
матрицу системы;
2) с помощью элементарных
преобразований строк расширенной
матрицы свести матрицу системы к
треугольной или трапециевидной;

92.

3) для преобразованной таким
образом расширенной матрицы
записать соответствующую систему
уравнений;
4) решить полученную систему
начиная с последнего уравнения;
5) записать решение (x1, x2,…, xn).

93.

В истории черпаем мы
мудрость, в поэзии –
остроумие, в математике
– проницательность.
Ф. Бэкон