Линейная алгебра. Введение. Матрицы (лекция 1)

1.

МАТЕМАТИКА
Лекция 1

2.

Лекцию читает
к.т.н., профессор
БОБРОВА Людмила
Владимировна
[email protected]

3.

Курс высшей математики состоит из 3-х модулей
МАТЕМАТИКА
Модуль 1.
Линейная алгебра
Матрицы
Системы
линейных
уравнений
Векторная
алгебра
Модуль 2.
Математический
анализ. ч.1
Дифференциальное
исчисление
функции одной
переменной
Дифференциальное
исчисление
функции
нескольких
переменных
Модуль 3.
Математический
анализ. ч.2
Элементы высшей
алгебры
Интегральное
исчисление
Дифференциальные
уравнения
Числовые и
функциональные
ряды

4.

Студенты всех направлений обучения
при работе с дисциплинами математического цикла
изучают теоретический материал, выполняют контрольные
задания, отвечают на вопросы тестов
на сайте дистанционного обучения института

5.

Для входа на сайт дистанционного обучения введите команду
moodle.noironline.ru, затем свои пароль и логин.

6.

После входа на сайт выберите дисциплину

7.

Структура любой дисциплины на сайте дистанционного обучения:
Теоретический
материал
Информационный
блок
Блок контроля

8.

Теоретическая часть состоит из модулей (разделов):

9.

При щелчке
по имени
раздела
раскрывается его
содержимое
(перечень тем)

10.

При щелчке по имени темы раскрывается ее содержимое:

11.

Структура любого раздела:
- теория по каждой теме;
- тренировочные тесты по
темам;
- вопросы для самопроверки
по модулю.

12.

РЕКОМЕНДУЕМЫЙ АЛГОРИТМ РАБОТЫ:
1. Определить, какие виды работ и заданий предстоит
выполнить по данной дисциплине.
Оценка по дисциплине выставляется автоматически,
программой, в зависимости от набранной суммы баллов, по
балльно-рейтинговой системе (БРС).
Для ознакомления с БРС по данной дисциплине нужно
открыть раздел «Как получить оценку» в верхней части
сайта дисциплины:

13.

14.

Балльно-рейтинговая система для студентов-психологов

15.

РЕКОМЕНДУЕМЫЙ АЛГОРИТМ РАБОТЫ:
Изучить теоретический материал раздела (по
материалу теоретического блока сайта дисциплины и
материалам лекции).
3. Перейти в контрольный блок для выполнения
практических заданий (по математике – решение задач
контрольной работы).
2.

16.

Блок контроля освоения дисциплины
располагается ниже материала модулей
В Блоке контроля следует решить очередное задание
контрольной работы.

17.

4. Для получения задания нужно щелкнуть по его имени:

18.

5. По математике каждое задание выполняется:
- либо на отдельном листе бумаги («вручную»), фотографируется и
сохраняется в одном из графических форматов (jpeg, pdf);
- либо в Worde.
6. Далее результат выполнения здания загружается на сайт
дисциплины согласно приведенным указаниям.

19.

Задания проверяются не автоматически,
а преподавателем!
Срок проверки задания – в пределах недели.
Если допущены ошибки,
преподаватель напишет об этом в комментариях
даст возможность повторной загрузки задания.
ВОЗМОЖНЫ ВСЕГО ДВЕ ПОПЫТКИ
ЗАГРУЗКИ ЗАДАНИЯ
(больше не позволит система).
Так что будьте внимательны и не торопитесь!

20.

7. После изучения материалов раздела (темы) и выполнения
контрольного задания, отвечаете на вопросы теста по данному
разделу.
При работе с контрольным тестом дается 2 попытки и время
ограничено, поэтому лучше сначала потренироваться с
тренировочным тестом (для него нет ограничения на время и
количество попыток).

21.

8. После выполнения всех заданий и ответа на тесты
проверьте, какую сумму баллов Вы набрали (пункт
«Оценки» в левой части сайта дисциплины).

22.

9. После выполнения всех заданий и ответа на тесты
следует поставить флажок Завершение курса для
получения автоматической оценки (предварительно
убедитесь, что задания зачтены преподавателем, и Вы
набрали нужную сумму баллов).

23.

Студенты направления
ГОСУДАРСТВЕННОЕ И МУНИЦИПАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ (ГиМУ)
изучают дисциплину МАТЕМАТИКА
только в первом семестре первого курса
(завершается экзаменом)

24.

Студенты направления
ГОСУДАРСТВЕННОЕ И МУНИЦИПАЛЬНОЕ
УПРАВЛЕНИЕ (ГиМУ)
изучают дисциплину МАТЕМАТИКА
только в первом семестре первого курса
(завершается экзаменом)
Нужно зайти в
дисциплину
МАТЕМАТИКА (ВПО)

25.

При входе на сайт дисциплины
МАТЕМАТИКА (ВПО) студенты ГиМУ
получают доступ к 7 заданиям
контрольной работы

26.

27.

Студенты направления
МЕНЕДЖМЕНТ
изучают дисциплину МАТЕМАТИКА
в первом семестре первого курса
(завершается экзаменом)
и во втором семестре первого курса
(завершается экзаменом).

28.

Студенты направления
МЕНЕДЖМЕНТ
изучают дисциплину МАТЕМАТИКА
в первом семестре первого курса
(завершается экзаменом)
и во втором семестре первого курса
(завершается экзаменом).
В первом семестре
нужно зайти
в дисциплину
МАТЕМАТИКА (ВПО)

29.

При входе на сайт дисциплины МАТЕМАТИКА (ВПО)
студенты-менеджеры получают доступ
к 6 заданиям контрольной работы

30.

31.

Студенты направления
МЕНЕДЖМЕНТ
изучают дисциплину МАТЕМАТИКА
в первом семестре первого курса
(завершается экзаменом)
и во втором семестре первого курса
(завершается экзаменом).
Во втором семестре
нужно зайти
в дисциплину

32.

При входе на сайт дисциплины
студенты-менеджеры получают доступ
к 4-м заданиям контрольной работы
и 4-м тестам:

33.

Студенты направления Психология
изучают дисциплину
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА (ВПО)

34.

При входе на сайт дисциплины
МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА (ВПО)
студенты-психологи получают доступ
к 4-м заданиям контрольной работы,
2-м контрольным тестам и итоговому тесту

35.

СТРУКТУРА КУРСА
-линейная алгебра;
-векторный анализ;
-аналитическая геометрия;
-математический анализ;
-дифференциальное исчисление функции одной
переменной
-интегральное исчисление функции одной
переменной
- теория вероятностей

36.

Модуль 1.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

37.

1.1.Матрицы

38.

Матрица размером m x n:
прямоугольная таблица чисел, состоящая
из m строк и n столбцов:
a11
a
21
A
...
am1
a12
a22
...
am 2
aik - элемент матрицы
i
k
- номер строки
- номер столбца
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

39.

Квадратная матрица : число строк равно
числу столбцов
Порядок квадратной матрицы: количество
ее строк (столбцов)
a11
a
21
A
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n (1) - матрица n-го
порядка
... ...
... ann

40.

a11
a
21
A
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
Главная диагональ квадратной матрицы:
совокупность элементов
с одинаковыми индексами

41.

a11
a
21
A
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
Побочная диагональ:
совокупность элементов, расположенных
на второй диагонали

42.

Диагональная матрица:
квадратная матрица, все
элементы которой,
расположенные вне
главной диагонали,
равны нулю
a11
D 0
0
0
a22
0
0
0
a33

43.

Единичная матрица:
диагональная матрица ,
все диагональные
элементы которой равны
единице
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1

44.

1.2. Операции
над матрицами

45.

Равные матрицы A и B:
имеют одинаковый размер и их
соответствующие элементы равны :
aik bik (i 1,2,..., m;
k 1,2,..., n).

46.

Равные матрицы A и B:
имеют одинаковый размер и их
соответствующие элементы равны :
aik bik (i 1,2,..., m;
3 2 4
A
1 0 2
k 1,2,..., n).
3 2 4
ВA
1 0 2

47.

Произведение матрицы A на число :
матрица B, такая что
B A A .

48.

Произведение матрицы A на число :
матрица B, такая что
B A A .
Пример 1
5 2
4 1 2 5 ( 4) 5 1
5 0 7 3 5 0
5 7 5 ( 3)
6 0 8 5 6
5
0
5
8
20 5 10
0
35 15
30
0
40

49.

Сумма матриц A и B, имеющих одинаковый
размер: матрица C, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих элементов
матриц A и B:
cik aik bik

50.

Сумма матриц A и B, имеющих одинаковый
размер: матрица C, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих элементов
матриц A и B:
cik aik bik
Пример 2
2 1
А
4 6
7 3
В
0 5

51.

Пример 2
2 1
А
4 6
7 3
В
0 5
2 7 1 3 9 2
С А В
? 4 ?
4 0

52.

Самостоятельная работа 1
Пример 2
2 1
А
4 6
7 3
В
0 5
2 7 1 3 9 2
С А В
? 4 ?
4 0
Чему равен элемент С22 ?

53.

Сверим ответы?
cik aik bik
2 1
А
4 6
7 3
В
0 5
2 7 1 3 9 2
С А В
4 0 6 5 4 11

54.

Транспонирование матрицы:
столбцы матрицы А являются
строками матрицы AT
Пример 3
3 2 4
A
1 0 2
3 1
Т
A 2 0
4 2

55.

Самостоятельная работа 2
Задание. Какая из матриц является
транспонированной матрицей А?
2 1
А
4 6
A.
1 2
А
4 6
B.
C.
2 4
А
1 6
4 2
D. А 6 1
Т
Т
2 1
А
6 4
Т
Т

56.

1.3. Определители
матриц

57.

Определители матриц
Определитель матрицы второго порядка
a11
A
a21
a12
a22
это число, записанное в виде таблицы и равное
разности произведений элементов главной и
побочной диагоналей матрицы
a11
det A
a21
a12
a11a22 a12 a21
a22

58.

Пример 4. Вычислить определитель матрицы
8 2
A
3 1
8 2
det A
8 1 3 ( 2) 8 6 14
3 1

59.

Самостоятельная работа 3
Задание. Вычислить определитель матрицы
1 5
B
7 4
Варианты
A. 31
B. -31
ответов:
C. 27
D. 13

60.

Сверим ответы?
1 5
det B
( 1) 4 7 ( 5) 4 35 31
7 4
1 5
B
7 4

61.

Миноры матриц
Минор Mik элемента aik матрицы третьего
порядка: определитель матрицы второго
порядка, получающейся из данной матрицы
вычеркиванием i-ой строки и k-гo столбца, на
пересечении которых находится этот элемент.
a21
M 12
a31
a23
a33

62.

Алгебраические дополнения
Алгебраическое дополнение Aik элемента
aik матрицы третьего порядка: число, равное
произведению минора этого элемента на (-1)i+k
.
Aik ( 1)
i k
M ik

63.

Пример 5 . Вычислить алгебраическое дополнение
элемента a21 матрицы
2 1 0
A 1 3 1
2 0 1
Решение
1. Находим минор элемента a21:
2 1 0
i = 2;
A 1 3 1
k=1
2 0 1
1 0
М 21
( 1) 1 0 0 1
0 1

64.

Пример 5 . Вычислить алгебраическое дополнение
элемента a21 матрицы
2 1 0
A 1 3 1
2 0 1
Решение
1. Находим минор элемента a21:
2 1 0
i = 2;
A 1 3 1
k=1
2 0 1
1 0
М 21
( 1) 1 0 0 1
0 1
2. Алгебраическое дополнение элемента a21:
A21 ( 1)2 1 M 21 ( 1) ( 1) 1
Aik ( 1)i k M ik

65.

Самостоятельная работа 4
Задание. Вычислить минор М22 матрицы
2 1 0
A 1 3 1
2 0 1
Варианты
A. -1
B. -3
ответов:
C. 2
D. 3

66.

Сверим ответы?
Задание. Вычислить минор М22 матрицы
2 0
M 22
2 1 ( 2) 0 2
2 1

67.

Самостоятельная работа 5
Задание. Вычислить алгебраическое
дополнение элемента a22
матрицы
2 1 0
A 1 3 1
2 0 1
Варианты
A. -2
B. -1
ответов:
C. 1
D. 2

68.

Сверим ответы?
Вычислить алгебраическое
дополнение элемента a22
матрицы
2 0
M 22
2 1 ( 2) 0 2
2 1
A22 ( 1)2 2 M 22 1 2 2

69.

Определитель матрицы третьего
порядка
Это число, равное сумме произведений
элементов любой строки (столбца) матрицы на
их алгебраические дополнения
Например:
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13
a33
- разложение определителя по первой строке

70.

a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23 a13 A13 a23 A23 a33 A33
a33
- разложение определителя по третьему
столбцу

71.

Пример 6. Вычислить определитель матрицы А
разложением по первой строке
2 1 1
A 1 2 3
1 1 1
2 1 1
1 2 3 2 A11 ( 1) A12 1A 13
1 1 1

72.

Пример 6. Вычислить определитель матрицы А
разложением по первой строке
2 1 1
A 1 2 3
1 1 1
2 1 1
1 1 2 3
1 2 3 2 A11 ( 1) A12 1A 13 2( 1)
1 1
1 1 1

73.

Пример 6 . Вычислить определитель матрицы А
разложением по первой строке
2 1 1
A 1 2 3
1 1 1
2 1 1
1 1 2 3
1 2 3 2 A11 ( 1) A12 1A 13 2( 1)
1 1
1 1 1
1 2
( 1)( 1)
1 3
1 1

74.

Пример 6 . Вычислить определитель матрицы А
разложением по первой строке
2 1 1
A 1 2 3
1 1 1
2 1 1
1 1 2 3
1 2 3 2 A11 ( 1) A12 1A 13 2( 1)
1 1
1 1 1
1 2
( 1)( 1)
1 3
1 3 1 2
1( 1)
1 1
1 1

75.

Пример 6 . Вычислить определитель матрицы А
разложением по первой строке
2 1 1
A 1 2 3
1 1 1
2 1 1
1 1 2 3
1 2 3 2 A11 ( 1) A12 1A 13 2( 1)
1 1
1 1 1
1 2
( 1)( 1)
1 3
1 3 1 2
1( 1)
1 1
1 1
2 1 1 2 1( 1) 3.

76.

Пример 7. Вычислить определитель матрицы
разложением по второму столбцу
2 1 1
A 1 2 3
1 1 1
2 1 1
1 2 3 ( 1) A12 2 A22 1 A 32
1 1 1

77.

Пример 7. Вычислить определитель матрицы
разложением по второму столбцу
2 1 1
A 1 2 3
1 1 1
2 1 1
1 2 3 ( 1) A12 2 A22 1 A 32
1 1 1
1 2
( 1)( 1)
1 3
1 1

78.

Пример 7. Вычислить определитель матрицы
разложением по второму столбцу
2 1 1
A 1 2 3
1 1 1
2 1 1
1 2 3 ( 1) A12 2 A22 1 A 32
1 1 1
1 2
( 1)( 1)
1
1 3
2 2 2
2( 1)
1 1
1 1

79.

Пример 7. Вычислить определитель матрицы
разложением по второму столбцу
2 1 1
A 1 2 3
1 1 1
2 1 1
1 2 3 ( 1) A12 2 A22 1 A 32
1 1 1
1 2
( 1)( 1)
1
1
1 3
3 2 2
2 2 2
1( 1)
2( 1)
1 3
1 1
1 1

80.

Пример 7. Вычислить определитель матрицы
разложением по второму столбцу
2 1 1
A 1 2 3
1 1 1
2 1 1
1 2 3 ( 1) A12 2 A22 1 A 32
1 1 1
1 2
( 1)( 1)
1
1
1 3
3 2 2
2 2 2
1( 1)
2( 1)
1 3
1 1
1 1
1 2 2 ( 3) ( 1) ( 7) 3.

81.

В Excel
для вычисления определителя матриц
используется функция
=МОПРЕД(Диапазон)

82.

Обратная матрица

83.

Квадратная матрица А называется обратимой,
если существует обратная к ней матрица A 1 ,
удовлетворяющая соотношениям
A A A A E
1
1

84.

Теорема. Для того, чтобы матрица А
имела обратную матрицу, необходимо
и достаточно, чтобы определитель ее
был не равен нулю;
тогда матрица А –невырожденная и
A11
1
1
A
A
12
D( A)
A13
Определитель
матрицы A
A21
A22
A23
A31
A32
A33

85.

Теорема. Для того, чтобы матрица А
имела обратную матрицу, необходимо
и достаточно, чтобы определитель ее
был не равен нулю;
тогда матрица А –невырожденная и
A11
1
1
A
A
12
D( A)
A13
Определитель
матрицы A
A21
A22
A23
A31
A32
A33
Алгебраические дополнения
элементов транспонированной
матрицы А

86.

Пример 8. Дана матрица
2 3
A
1 2
Найти матрицу, обратную А.

87.

1 A11
A
A
D( A) 12
1
A21
A22
2 3
D( A)
4 ( 3) 1.
1 2
2 3
A
1 2

88.

1 A11
A
A
D( A) 12
1
1 1
A11 ( 1)
( 2) 2
2 3
A
1 2
2 3
A
1 2
D( A) 1.
A21
A22

89.

1 A11
A
A
D( A) 12
1
1 2
A12 ( 1)
1 1
2 3
A
1 2
D( A) 1.
A11 2
A21
A22

90.

1 A11
A
A
D( A) 12
1
A21 ( 1)
2 1
A21
A22
( 3) 3
2 3
A
1 2
D( A) 1.
A11 2
A12 1

91.

Самостоятельная работа
1 A11
A
D( A) A12
1
Задание
Определите значение алгебраического
дополнения А22
2 3
A
1 2
D( A) 1.
A11 2
A12 1
A21 3
A21
A22

92.

1 A11
A
A
D( A) 12
1
A22 ( 1)
2 2
A21
A22
2 2
2 3
A
1 2
D( A) 1.
A11 2
A12 1
A21 3

93.

1 A11
A
A
D( A) 12
1
A21
A22
D( A) 1.
A11 2
A12 1
A21 3
A22 2
1 2 3 2 3
A
1 1 2 1 2
1
2 3
A
1 2