Линейная алгебра

1. Линейная алгебра

Ранг матрицы
Системы линейных алгебраических уравнений

2. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
a11 a12
a 21 a 22
a
a32
31
am1 am 2
a13
a 23
a33
am 3
a1n
a 2n
aa1111a12
aa12a12112n a13
a1n
11
2
12
n
M22 M
M 12
a3n M
123
12 n13
M 3 M 123
a 31
a22a32322n aa233n
a32
13 m a21
21 a
aa31m1 aa32m 2 aa33mn
amn
Выделим в этой матрице произвольное число k строк и k столбцов.
Элементы матрицы А, стоящие на пересечении выделенных строк
и столбцов, образуют определитель k - ого порядка.
M M
j1 j2 jk
или
k
i1i2 ik
порядок минора матрицы

3.

Ранг матрицы
О миноре
строки i1 , i2 ,
Mk M
, ik и j1 , j2 ,
j1 j2 jk
i1i2 ik
говорят, что:
, jk столбцы матрицы входят в
него;
он образован этими строками и столбцами;
он располагается на пересечении этих строк и столбцов;
он располагается в этих строках и столбцах матрицы.
Замечание:
Строки, входящие в минор, попарно различны, и в обозначении
минора необходимо упорядочить их по возрастанию номеров.
Это же относится и к столбцам.

4.

Ранг матрицы
Таких миноров матрицы А размера (m x n) можно
составить
Сmk Cnk
штук, где C k
n
n!
k !(n k )!
-
число сочетаний из n элементов по k .
Рангом матрицы называется число, которое равно максимальному
порядку среди её ненулевых миноров и обозначается r, r(A), rang A,
rg A, Rg A.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется
базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы
базисного минора, называются базисными.

5.

S1, S2, … , Sk – строки (столбцы) матрицы А
α1, α2, … , αk – некоторые числа
Выражение вида α1S1 + α2S2 + … + αkSk называется
линейной комбинацией
Строки (столбцы) S1, S2, … , Sk называют линейно
зависимыми, если существуют числа α1, α2, … , αk, не
все равные нулю одновременно, такие, что линейная
комбинация α1S1 + α2S2 + … + αkSk = 0 (нулевой матрице).
Если же
+ αkSk = 0 возможно
1 равенство
2 0 3 α1SS1 1 + α2S2 +
2S…
1 S2 S4 =
при условии
α1 = α2 = … = αk = 0, то строки
только
O
1 0 S11, 2S 2, S2… , Sk= (0называют
0 0 0) =линейно
(столбцы)
A
0 2 5 5 S3
независимыми.
S1, S2, S4 – линейно
1 4 1 8 S
зависимы
4

6. Ранг матрицы

2 3 4 5
A 0 2 3 1
0 2 2 4
Матрица А имеет 4 минора 3 - его порядка,
например:
18 миноров 2 - го порядка, например:
2 3 4
0 2 3 20
0 2 2
2 3
4
0 2
12 миноров 1 - го порядка – сами элементы.
Наибольший порядок отличного от нуля минора
этой матрицы равен 3, поэтому: r ( A ) 3

7. Свойства ранга матрицы

Если ранг матрицы равен r, то матрица имеет хотя бы один
минор порядка r, не равный нулю, а все её миноры больших
порядков равны нулю
При транспонировании матрицы её ранг не меняется.
Если вычеркнуть из матрицы нулевую строку(столбец), то ранг
матрицы не изменится
Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях и
равен количеству ненулевых строк в ступенчатой матрице.
Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной
диагонали.
1 3 2 II 1 3 2
A 0 5 4 ~
0 5 4 ( 2)
1 7 6
0 10 8
r( A ) 2
1 3 2
0 5 4
0 0 0

8.

Теорема о базисном миноре
Теорема
Базисные
строки
(столбцы)
матрицы
А,
соответствующие любому её базисному минору М,
линейно независимы. Любые строки (столбцы)
матрицы А, не входящие в М, являются линейными
комбинациями базисных строк (столбцов).
Следствие
Для того чтобы квадратная матрица была
невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы её
строки (столбцы) были линейно независимы.

9.

Теорема
Линейно независимые строки (столбцы) матрицы,
количество которых равно рангу матрицы, являются
базисными строками (столбцами).
Теорема
Для любой матрицы её ранг равен максимальному
количеству её линейно независимых строк (столбцов).
Следствие
Для любой матрицы максимальное число линейно
независимых строк равно максимальному числу
линейно независимых столбцов.

10.

Методы вычисления ранга матрицы
1. Метод окаймляющих миноров.
Минор M матрицы А называется окаймляющим для
минора М, если он получается из последнего
добавлением одной новой строки и одного нового
столбца матрицы.
Минор M k 1 порядка (k+1), который в себе содержит
минор M k порядка k называется окаймляющим
минором.

11.

Данный метод позволяет найти один из базисных
миноров матрицы и заключается в следующем.
Выбирается ненулевой минор первого порядка
(ненулевой
элемент
матрицы).
К
очередному
ненулевому минору последовательно добавляются
такие строка и столбец, чтобы новый окаймляющий
минор оказался ненулевым. Если этого сделать нельзя,
то последний ненулевой минор является базисным (что
утверждает следующая ниже теорема). Этот процесс
рано или поздно закончится из-за ограниченных
размеров матрицы.
Теорема
Если для некоторого минора матрицы все окаймляющие
его миноры равны нулю, то он является базисным.

12. Методы вычисления ранга матрицы

2. Метод элементарных преобразований (метод
Гаусса). При элементарных преобразованиях строк
(столбцов) матрицы её ранг не меняется. Ранг
ступенчатой матрицы равен количеству
ненулевых строк.
Базисным в ней является минор, расположенный на
пересечении ненулевых строк со столбцами,
соответствующими
первым
слева
ненулевым
элементам в каждой из строк. Действительно, этот
минор ненулевой, так как соответствующая матрица
является верхней треугольной, а любое его
окаймление содержит нулевую строку.

13.

Вычислить ранг матрицы:
1 2 1 3
0
1 1
2
1 2 2 4
7 6 1 7
Решение:
1. Выберем минор второго порядка, находящийся в
верхнем левом углу,
12
12
M
1 2
4
2 0
Вывод: минор второго порядка не равен нулю,
следовательно ранг не менее двух.
2. Составляем миноры третьего порядка, окаймляющие
отличный от нуля минор второго порядка. Для этого
добавим к M 12 третью строку и третий столбец.
12

14.

1 2 1 3 2 1
2
123
5 3
M 123 2
0
1 0 0
1 1 ( 1)
( 6 6) 0
3 2
1 2 2 3 2 2
1 2 3
7 2 3
2
124
5 7
M 123 2
0 1 0 0 1 1 ( 1)
0
7 2
1 2 4
7 2 4
1 2 1 3 2 1
2
123
5 3
M 124 2 0
1 0 0
1 1 ( 1)
0
9 6
7 6 1 9 6 1

15.

1 2 3
7 2 3
2
124
5 7
M 124 2 0 1 0 0 1 1 ( 1)
0
21 6
7 6 7
21 6 7
Все миноры третьего порядка, окаймляющие минор второго
порядка, равны нулю. А это значит, что rang A=2.

16.

Линейным уравнением называется выражение вида
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
где
a1 , a 2 , , a n , b
– числа.
a1 , a 2 , , a n – коэффициенты уравнения
b – свободный член
Если b 0 , то уравнение называют однородным.
Если b 0 , то уравнение называют неоднородным.

17.

Системой m линейных уравнений с n
неизвестными,называется система вида
a11x1 a12 x2
a x a x
21 1
22 2
am1 x1 am 2 x2
a11
a
A 21
am1
a12
a22
am 2
a11 a12
a
a22
21
A
am1 am 2
a1n xn b1 ,
a 2 n xn b 2 ,
amn xn bm .
(*)
a1n
a2 n - основная матрица
b1
x1
b
x
amn
из свободных
2 столбец
X 2 Bстолбец
из неизвестных
a1n
a2 n
amn
xn
членов
bm
b1
b2
Тогда система
принимает вид:
-расширенная
матрица
AX = B
bm

18.

Т.е.система в матричном виде примет вид :
a11 a12 a13 a1n x1 b1
a 21 a22 a23 a2n x 2 b2
a a a a x b
mn n
m
m1 m 2 m3
A X B
Если закрепить раз и
навсегда нумерацию
неизвестных, то можно
опустить неизвестные в
записи системы и
записать ее в виде
матрицы, отделяя
столбец свободных
членов вертикальной
чертой.
b1
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2 n b2
A A B
am1 am 2 am3 amn bm Расширенная
матрица системы

19.

Упорядоченный набор чисел c1, c2, …, cn называется
решением системы (*), если он обращает в тождество
каждое уравнение системы.
c1
c 2 – решение системы
C
c
n
Система уравнений называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение, и несовместной,
если она не имеет ни одного решения.
Система уравнений называется определенной, если
она имеет единственное решение, и неопределенной,
если она имеет более одного решения.

20.

Решить СЛАУ – значит решить две задачи:
- выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
- найти все решения, если они существуют.
Определить совместность и определенность.
x1 x2 3;
x1 x2 1.
x1 x2 3;
x1 x2 4.
совместная и определенная несовместная
x1 x2 3;
2 x1 2 x2 6.
совместная и неопределенная
Если столбец свободных членов равен нулевой матрице,
то система называется однородной, в противном случаи
она является неоднородной.
Системы называются равносильными (эквивалентными), если каждое решение одной системы
является решением другой, и наоборот.