Комплексные числа

1. Комплексные числа

Основные понятия
Геометрическое изображение
комплексных чисел
Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Показательная форма комплексного
числа

2. Основные понятия

Комплексным числом z называют выражение:
z a i b,
где а и b – действительные числа, i – мнимая единица,
определяемая равенством:
i 1
i 2 1
а называется действительной частью числа z,
b – мнимой частью. Их обозначают так:
a Re z;
b Im z.
Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым.
Если b = 0, то получается действительное число а.
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой
части, называются сопряженными:
z a i b,
z a i b,

3. Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число z a i b, можно изобразить на
плоскости XOY в виде точки A(a; b).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называют плоскостью комплексной переменной.
y
z
Точкам, лежащим на оси OX,
A(a; b)
b
соответствуют действительные числа
(b = 0), поэтому ось OX называют
действительной осью.
a х
0
Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа
(a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.
Иногда удобно считать геометрическим изображением
комплексного числа z вектор OA

4. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Обозначим через r модуль вектора OA , через φ угол между
вектором OA и положительным направлением оси OX.
Тогда имеют место равенства:
y
z
a r cos ; b r sin
A(a; b)
b
r
0
Следовательно, комплексное число z
можно представить в виде:
φ
a х
a i b r cos i r sin
z r (cos i sin )
b
Модуль
комплексного
Аргумент
2комплексного
2
Тригонометрическая
arg z arctg
r zчисла
aчисла
b
форма записи
a
комплексного
числа числа z считается положительным, если
Аргумент
комплексного
он отсчитывается от положительного направления оси OX против
часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а
k Z.
с точностью до слагаемого 2 k

5. Действия над комплексными числами

1
Равенство комплексных чисел.
Два комплексных числа z1 a1 i b1 и z2 a2 i b2
называются равными : z1 z2 , если a1 a2 , b1 b2
Комплексное число z a i b равно нулю , тогда и только
тогда, когда a 0, b 0
2
Сложение и вычитание комплексных чисел.
Суммой (разностью) комплексных чисел z1 a1 i b1 и
z2 a2 i b2 называется комплексное число, определяемое
равенством:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2

6. Действия над комплексными числами

Сложение и вычитание
комплексных чисел, изображенных
векторами производится по правилу
сложения или вычитания векторов:
y
z
z1
z1 - z2
0
3
z1 + z2
z2
х
Умножение комплексных чисел.
Умножением комплексных чисел z1 a1 i b1 и z2 a2 i b2
называется число, получаемое при умножении этих чисел по
правилам алгебры как двучлены, учитывая что
i 2 1;
i 3 i ;
i 4 i i 1;
i5 i
i 4k 2 1;
i 4k 3 i
При любом целом k:
i 4k 1;
i 4k 1 i ;

7. Действия над комплексными числами

На основании этого правила получим:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2
a1 a2 i b1 a2 i b2 a1 i 2 b1 b2
z1 z2 a1 a2 b1 b2 i b1 a2 b2 a1
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1(cos 1 i sin 1 ) z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
тогда произведение находится по формуле:
z1 z2 r1 r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
Произведение сопряженных комплексных чисел:
z z (a i b ) (a i b ) a 2 (i b)2 a 2 b 2
z z a b z
2
2
2

8. Действия над комплексными числами

4
Деление комплексных чисел.
Чтобы разделить z1 a1 i b1 на z2 a2 i b2
необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное
делителю:
z1 a1 i b1
(a1 i b1 ) (a2 i b2 )
z2 a2 i b2 (a2 i b2 ) (a2 i b2 )
(a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 ) a1a2 b1b2
a2b1 a1b2
i
2
2
2
2
a2 b2
a2 b2
a22 b22
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1(cos 1 i sin 1 )
z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z2 r2

9. Действия над комплексными числами

Найти произведение и частное комплексных чисел:
z1 2 3i ,
z2 1 4i
= -1
z1 z2 2 3i 1 4i 2 3i 8i 12i 2
2 3i 8i 12 14 5i
z1 2 3i
(2 3i ) (1 4i ) 2 3i 8i 12i 2
2
2
z2 1 4 i
(1 4i ) (1 4i )
1 4
10 11
10 11i
2 3i 8i 12
i
17 17
17
17

10. Действия над комплексными числами

5
Возведение в степень комплексного числа.
При возведении комплексного числа z r (cos i sin )
в целую положительную степень модуль возводится в эту степень,
а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра)
z n r n (cos n i sin n )
6
Извлечение корня из комплексного числа.
Корень n – ой степени из комплексного числа
z r (cos i sin ) находится по формуле:
n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
Арифметическое значение корня из
положительного числа r

11. Действия над комплексными числами

n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных
значений корня.
Для других значений k аргументы будут отличаться от
полученных на число, кратное 2π, и , следовательно будут
получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными.
Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n
различных значений.
Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n
значений, так как действительное число – частный случай
комплексного числа и может быть представлено в
тригонометрической форме:
A A (cos 0 i sin0) ( A 0)
A A (cos i sin ) ( A 0)

12. Действия над комплексными числами

Найти все значения кубического корня из единицы
1 cos 0 i sin0
3
(r 1; 0)
0 2k
0 2k
2k
2k
1 cos
i sin
cos
i sin
3
3
3
3
k 0
k 1
k 2
1 cos 0 i sin 0 1
3
3
2
2
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
3
4
4
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
y
z
В
A
х
С

13. Показательная форма комплексного числа

Пусть z x i y . Если х и y – действительные переменные, то
z называется комплексной переменной.
Рассмотрим показательную функцию от комплексной
переменной z.
w ez
или
w e x i y
Комплексные значения функции w определяются по формуле:
e x i y e x (cos y i sin y )
z 2 i
Пример:
e
2 i
(1)
4
2
2
e
2
e
2
4
e (cos i sin )
i
4
4
2
2
2

14. Показательная форма комплексного числа

Если в формуле (1) положим x = 0, то получим:
ei y cos y i sin y
(2)
Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая
показательную функцию с мнимым показателем через
тригонометрические функции.
Заменим в формуле (2) y на – y:
e i y cos( y ) i sin( y ) e i y cos y i sin y (3)
Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :
e e
cos y
2
iy
iy
e iy e iy
sin y
2i

15. Показательная форма комплексного числа

Представим комплексное число z в тригонометрической форме::
z r (cos i sin )
По формуле Эйлера: cos i sin e i
Следовательно, всякое комплексное число можно представить в
показательной форме:
z r e i
Действия над комплексными числами в показательной форме:
i
Пусть имеем: z1 r1 e 1 ;
z1 z2 r1 r2 e i 1 2 ;
z1 r1 i 1 2
e
;
z2 r2
z2 r2 e i 2 . Тогда:
zn r n ei n ;
n
z n r e
i
2 k
n
.