Комплексные числа и действия над ними

1. Комплексные числа и действия над ними

2. Комплексные числа

Основные понятия
Комплексным числом z называют выражение:
z a b i,
где а и b – действительные числа, i – мнимая единица,
определяемая равенством:
i 1
i 2 1
а называется действительной частью числа z,
b – мнимой частью. Их обозначают так:
a Re z;
b Im z.
Если а = 0, то число b i называется чисто мнимым.
Если b = 0, то получается действительное число а.
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой
части, называются сопряженными:
z a b i,
z a b i,

3. Основные понятия

Геометрическое изображение
комплексных чисел
Всякое комплексное число z a b i, можно изобразить на
плоскости XOY в виде точки A(a; b).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называют плоскостью комплексной переменной.
y
z
Точкам, лежащим на оси OX,
A(a; b)
b
соответствуют действительные числа
(b = 0), поэтому ось OX называют
действительной осью.
a х
0
Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа
(a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.
Иногда удобно считать геометрическим изображением
комплексного числа z вектор OA

4. Геометрическое изображение комплексных чисел

Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел
Обозначим через r модуль вектора OA , через φ угол между
вектором OA и положительным направлением оси OX.
Тогда имеют место равенства:
y
z
a r cos ; b r sin
A(a; b)
b
r
0
Следовательно, комплексное число z
можно представить в виде:
φ
a х
a i b r cos i r sin
z r (cos i sin )
b
Модуль
комплексного
Аргумент
2комплексного
2
Тригонометрическая
arg z arctg
r zчисла
aчисла
b
форма записи
a
комплексного
числа числа z считается положительным, если
Аргумент
комплексного
он отсчитывается от положительного направления оси OX против
часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а
k Z.
с точностью до слагаемого 2 k

5. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Действия над комплексными числами
На основании этого правила получим:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2
a1 a2 i b1 a2 i b2 a1 i 2 b1 b2
z1 z2 a1 a2 b1 b2 i b1 a2 b2 a1
Произведение сопряженных комплексных чисел:
z z (a i b ) (a i b ) a2 (i b)2 a 2 b 2
z z a b z
2
2
2

6. Действия над комплексными числами

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
тогда произведение находится по формуле:
z1 z2 r1 r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))

7. Действия над комплексными числами

4
Деление комплексных чисел.
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1(cos 1 i sin 1 )
z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z2 r2

8. Действия над комплексными числами

Найти произведение и частное комплексных чисел:
z1 2 3i,
z2 1 4i
= -1
z1 z2 2 3i 1 4i 2 3i 8i 12i 2
2 3i 8i 12 14 5i
z1 2 3i
(2 3i ) (1 4i ) 2 3i 8i 12i 2
2
2
z2 1 4 i
(1 4i ) (1 4i )
1 4
10 11
10 11i
2 3i 8i 12
i
17 17
17
17

9. Действия над комплексными числами

5
Возведение в степень комплексного числа.
При возведении комплексного числа z r (cos i sin )
в целую положительную степень модуль возводится в эту степень,
а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра)
z n r n (cos n i sin n )
6
Извлечение корня из комплексного числа.
Корень n – ой степени из комплексного числа
z r (cos i sin ) находится по формуле:
n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
Арифметическое значение корня из
положительного числа r

10. Действия над комплексными числами

n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных
значений корня.
Для других значений k аргументы будут отличаться от
полученных на число, кратное 2π, и , следовательно будут
получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными.
Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n
различных значений.
Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n
значений, так как действительное число – частный случай
комплексного числа и может быть представлено в
тригонометрической форме:
A A (cos 0 i sin0) ( A 0)
A A (cos i sin ) ( A 0)

11. Действия над комплексными числами

Найти все значения кубического корня из единицы
1 cos 0 i sin0
3
(r 1; 0)
0 2k
0 2k
2k
2k
1 cos
i sin
cos
i sin
3
3
3
3
k 0
k 1
k 2
1 cos 0 i sin 0 1
3
3
2
2
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
3
4
4
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
y
z
В
A
х
С

12. Действия над комплексными числами

Показательная форма комплексного
числа
Пусть z x i y . Если х и y – действительные переменные, то
z называется комплексной переменной.
Рассмотрим показательную функцию от комплексной
переменной z.
w ez
или
w e x i y
Комплексные значения функции w определяются по формуле:
e x i y e x (cos y i sin y )
z 2 i
Пример:
e
2 i
(1)
4
2
2
e
2
e
2
4
e (cos i sin )
i
4
4
2
2
2