Взаимодействие излучения и плазмы с веществом. Тема 3. Упругие столкновения быстрых заряженных частиц

1. Взаимодействие излучения и плазмы с веществом Тема 3. Упругие столкновения быстрых заряженных частиц

1.
2.
3.
4.
5.
6.
Траектория движения частиц в поле
центральных сил.
Связь между прицельным параметром,
энергией частицы и углом рассеяния.
Сечение Резерфорда.
Влияние экранирования на рассеяние.
Особенности упругого рассеяния
электронов и позитронов. Формула Мотта.
Влияние рассеяния на движение частиц.
1

2. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

Постановка задачи в рамках классической механики.
Уравнения Ньютона, описывающие движение частиц
в ЛСК:
m1r1 F12 ( r1 r2 )
m2 r2 F21 ( r1 r2 ) F12
(1)
2

3. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

● Для упрощения решения задачи делается переход от
переменных r1 , r2 к новым переменным r , R :
r r1 r2
m
r
m
r
1 1
2 2
R
m1 m2
(3)
Тогда задача (1) сводится к решению уравнения:
(4)
r F12
m1m2
где
- приведенная масса
m1 m2
3

4. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

Можно рассматривать эту задачу как
движение частицы с массой μ в поле
неподвижного
силового
центра,
расположенного
в
центре
инерции
сталкивающихся частиц.
Т.е. изучается движение одной «частицы»
с массой μ в том же самом силовом центре.
4

5. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

Поворот вектора r в
процессе столкновения:
Вектор r всегда проходит
через центр инерции частиц и
в процессе столкновения
поворачивается.
Зная из начальных условий
r0 (t ) и найдя
его асимптотику r (t ) из
решения уравнения (4), можно
найти θ – угол рассеяния частиц
в СЦИ
5

6. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

Будем рассматривать движение условной
частицы с массой µ в СЦИ.
Начало координат, оно же – силовой центр,
совпадает с центром инерции системы из двух
частиц.
Надо найти изменение координаты r
(траекторию движения) этой частицы в СЦИ.
( r совпадает с расстоянием между частицами 1 и 2
в ЛСК).
6

7. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

Нужно найти асимптотику r при t .
Тогда мы определим угол рассеяния двух
сталкивающихся частиц в СЦИ ( ).
Зная и соотношения между
кинематическими характеристиками в ЛСК и ,
можно найти результат рассеяния в ЛСК.
Траектория движения частиц
в результате
столкновения (т.е. асимптотика r ) находится с
использованием решения задачи Кеплера.
7

8. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

Частица с массой μ движется
в потенциальном поле W(r) с
центром в начале координат
Траектория частицы в поле
центральной силы:
● Уравнение
для моментов:
,
dL
N
dt
где L r , p - момент импульса,
N r , F - момент силы.
Так как сила – центральная, то
r || F
Тогда N 0 , а L = const ,
Значит траектория частицы
все время лежит в одной
плоскости, проходящей через
центр силы.
● Движение частицы происходит в поле центральной 8
силы.

9. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

● Уравнение траекторий частиц, движущихся в центральном
поле сил – результат решения задачи Кеплера.
● Задача Кеплера – задача о движении частицы (тела) в
центральном поле сил, где потенциальная энергия убывает
обратно пропорционально расстоянию от центра поля.
Она эквивалентна задаче
взаимодействующих по закону:
о
W
В нашем случае
частицы.
рассеянии
.
двух
частиц,
(5)
r
q1q 2 , где qi – электрический заряд
9

10. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

В общем случае траектория заряженной частицы массы
µ в кулоновском поле отталкивания в полярных координатах
описывается уравнением конического сечения:
p
r
cos 1
где p
,
2
2
L
(6)
- фокальный параметр,
2 EL
1 2
2
,
(ε- эксцентриситет), Е – полная энергия налетающей частицы.
10

11. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

Если в (6):
1 - траектория представляет собой параболу;
1 и cos 1
- гипербола.
Здесь полная энергия всегда положительная.
11

12. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

Если частица движется в поле притяжения
(например, ее заряд отрицательный и 0 ), то ее
траектория описывается уравнением конического
сечения вида:
p
(7)
r
cos 1
12

13. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

В (7) могут быть:
- если 1 - эллипс;
- если 1
- если -
- парабола;
1и cos 1 :
при Е<0 траектория частицы – эллипс,
при Е>0 – гипербола (Е=0 – окружность).
13

14. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

В опытах по рассеянию частиц всегда Е>0, потому
что на большом удалении от рассеивающего центра
потенциальная энергия взаимодействия W=0, и
полная энергия равна кинетической энергии
налетающей частицы при
t
.
Поэтому траектория частицы вблизи силового
центра является гиперболой, в фокусе которой
находится силовой центр (центр инерции системы из
двух частиц).
14

15. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

Траектория частицы массы µ в поле силового
центра, находящегося в фокусе гиперболы, по
которой движется частица:
θ – угол рассеяния в СЦИ;
r
– расстояние между
частицей и началом
координат;
φ – текущий полярный
угол;
ρ – прицельный параметр;
0
– начало координат,
силовой центр, центр
инерции системы из
двух частиц, фокус
гиперболы
15

16. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

Пусть силовое поле является полем
отталкивания.
Тогда траектории налетающей частицы
соответствует уравнение:
p
(7а)
r
cos 1
Так как угол отсчитывается от оси симметрии
гиперболы (ОА), то при φ=0 в соответствии с (7а)
p наименьшее сближение частиц.
r r
min
1
16

17. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

При движении частицы по траектории r r( )
и при стремлении r частица движется,
приближаясь к асимптотам.
При этом 0 .
Т.е. из (7а) имеем: cos 0 1 0 .
Откуда получаем:
1
cos 0 2
1 2 EL2 / ( 2 )
2
1
17

18. 1. Траектория движения частиц в поле центральных сил

Из рисунка с траекторией частицы
видно, что 2 0 .
Поэтому:
2
1
cos 0 sin
2 1 ctg2 1 2 EL2 / ( 2 )
2
2
1
18

19. 2. Связь между прицельным параметром, энергией частицы и углом рассеяния

2 EL2 / 2
(8)
L r , p (r|| r ), ( p|| p ) r , p||
(9)
ctg
2
2
L r p|| sin 90 v0
b
ctg
ctg
2
2 2E
2
(10)
● Чем меньше прицельный параметр и энергия
частицы, тем больше угол рассеяния
19

20. 3. Сечение Резерфорда

Сечение Резерфорда – формула для
дифференциального
сечения
упругого
рассеяния заряженной частицы в кулоновском
поле
ядра
(атома)
при
упругих
взаимодействиях без учета экранирования
ядра полем атомных электронов.
Она получена в рамках классической
механики.
20

21. 3. Сечение Резерфорда

d
Чтобы вычислить
(дифференциальное по
d
углу рассеяния сечение), следует воспользоваться
дифференциальным по прицельному параметру
d
2
сечением:
d
и формулой преобразования сечений.
Тогда получим:
d
d
(11-а)
d d d
d
2 d
2 d
d
2
sin
d d d
sin d
d
21

22. 3. Сечение Резерфорда

При
выводе
формулы
(11-а)
мы
воспользовались тем фактом, что в случае
азимутальной симметрии рассеяния, которая
чаще всего имеет место, для телесного угла
выполняется соотношение: d 2 sin .d
Далее воспользуемся соотношением (10),
описывающим связь прицельного параметра и
угла рассеяния в СЦИ.
22

23. 3. Сечение Резерфорда

d
Подставим
в (11-а). В итоге получим:
d
.
2
d b
1
d 16 sin 4
2
Подставим сюда b
E
, где q1q2 Z1eZ. 2e
В итоге получим формулу Резерфорда для
углового рассеяния в СЦИ.
23

24. 3. Сечение Резерфорда

3.1. Сечение Резерфорда для углового рассеяния в
СЦИ:
2 2 4
d Z1 Z 2 e
1
2
d
16 E
4
sin
2
Здесь
v12,0
v02
E
2
2
(11)
.
Полное сечение упругого рассеяния равно:
2
sin d
0
(11-а)
24

25. 3. Сечение Резерфорда

• Из выражения (11) следует, что эффективное
сечение углового рассеяния сильно вытянуто
вперед и не зависит от знака заряда
налетающей частицы.
• При 0 формула Резерфорда расходится,
поэтому она не применима для небольших
углов рассеяния (меньших примерно 3 ),
которым соответствуют большие значения
прицельного параметра.
25

26. 3. Сечение Резерфорда

3.2. Сечение Резерфорда для углового
рассеяния в ЛСК (для налетающих частиц):
d Z12 Z 22 e 4
1
2
d 1
4T1
sin 4 1
cos 1 (m / m ) 2 sin 2
1
1 2
1
2
(12)
1 (m1 / m2 ) 2 sin 2 1
Т1 – кинетическая энергия налетающей частицы.
При m1<m2 в этой формуле следует перед корнем брать
положительный знак.
Если m1>m2, то расчет по этой формуле для данного угла
рассеяния следует проводить для знаков плюс и минус перед корнем, а
затем сложить результаты.
26

27. 3. Сечение Резерфорда

3.3. Сечение по переданной энергии заряженной
частицы при упругом рассеянии в кулоновском поле
ядра:
d Z12 Z 22 e 4 m1 1
dQ
T1
m2 Q 2
(13)
Т1 – кинетическая энергия налетающей частицы в ЛСК.
Вторая частица до соударения в ЛСК покоится.
27

28. 3. Сечение Резерфорда

Некорректность формулы Резерфорда при
рассеянии в области малых углов связана с тем,
что при больших прицельных параметрах
существенную
роль
во
взаимодействии
налетающей заряженной частицы и ядра играют
электронные оболочки, которые ослабляют
действие кулоновских сил со стороны ядра.
Этот эффект называется экранированием.
28

29. 4. Учет экранирования

Задачу учета экранирования при выводе
формул для дифференциальных сечений
рассеяния заряженных частиц на атомах
удалось решить в рамках квантовой теории, на
основе первого приближения Борна.
Первое приближение Борна – метод решения
уравнения Шрёдингера, в основе которого лежит
предположение о том, что потенциальная энергия
взаимодействия рассеивающейся частицы с центром
сил мала, и её можно рассматривать как малое
возмущение.
29

30. 4. Учет экранирования

● Дифференциальное сечение рассеяния в первом
приближении Борна:
2
d
2
(14)
W (r ) exp( iqr )dV
d
2
W(r) - потенциальная энергия взаимодействия рассеивающейся
частицы с центром сил;
μ – приведенная масса сталкивающихся частиц;
q - величина импульса, переданного частицей рассеивающему
центру.
Область корректного применения (14): рассеивающий
потенциал должен быть мал по сравнению с энергией налетающей
частицы.
30

31. 4. Учет экранирования

Учёт экранирования сводится к заданию функции W(r),
описывающей потенциальную энергию взаимодействия
налетающей частицы и атома, состоящего из ядра и
электронных оборочек.
• Энергия взаимодействия налетающей частицы с
атомом складывается из энергии взаимодействия
этой частицы с ядром и взаимодействия с
электронными оболочками:
Z1Z 2 e 2
2 n(r )dV
W (r )
Z1e
r
r r
(15)
где n(r) – функция плотности распределения электронов в атоме:
n(r )dV Z 2
31

32. 4. Учет экранирования

● При подстановке (15) для W(r) в формулу (14) для сечения,
полученного в рамках первого приближения Борна, можно
получить сечения для углового рассеяния в виде:
d Z12 e 4
d 16 E 2
1
sin 4
2
Z 2 F (q)
2
(16)
Е – начальная кинетическая энергия частицы с приведённой
массой μ в СЦИ; θ – её угол рассеяния в СЦИ.
- эффективный заряд ядра, величина которого
Z 2 F ( q)
уменьшена экранированием. Этот множитель
описывает экранирующее действие электронных оболочек.
32

33. 4. Учет экранирования

● Атомный формфактор рассеяния:
sin( qr )
F ( q ) 4
0
qr
2
n(r )r dr
(17)
- функция, характеризующая пространственное распределение
заряда внутри атома.
33

34. 4. Учет экранирования

● Выражение для сечения (16) можно записать в виде:
d d
1
1
F (q)
d d R Z 2
где
2
(18)
d
- сечение рассеяния на точечном ядре,
d R
определяемое формулой Резерфорда;
1
1
F (q)
Z2
2
описывает экранирующее действие электронных
оболочек.
34

35. 4. Учет экранирования

При рассеянии быстрых частиц на большие
углы, что соответствует малым прицельным
параметрам, F(q)->0 (экранирование отсутствует).
Тогда формула (18) превращается в формулу
Резерфорда, описывающую рассеяние частицы с
зарядом Z1 на точечном ядре с зарядом Z2.
Это говорит о том, что при рассеянии с малым
прицельным параметром налетающая частица
«не чувствует» электронной оболочки и рассеивается
только ядром.
Угловое распределение рассеянных частиц в
этом случае сильно вытянуто вперед (как это можно
увидеть из формулы Резерфорда), т.е. вдоль
направления падающих частиц.
35

36. 4. Учет экранирования

• При
больших
прицельных
параметрах,
соответствующих малым углам рассеяния, поле
ядра сильно экранируется полем атомных
электронов ( (Z 2 F (q)) 0 ), и сечение оказывается
существенно меньше Резерфордовского.
Без
учета
электронной
оболочки
атома
вследствие
дальнодействующего
характера
точечного
потенциала
эффективная
область
взаимодействия оказывается бесконечной, поэтому
имеет место расходимость в сечении Резерфорда
для малых углов рассеяния.
Экранирование уменьшает количество частиц,
36
рассеянных на малые углы.

37. 4. Учет экранирования

Метод учёта экранирования с помощью
формфактора
является
наиболее
последовательным и точным, но сложным.
В
практических
расчётах
учёт
экранирования
проводится
с
помощью
различных приближённых потенциалов и
параметров экранирования
37

38. 4. Учет экранирования

● Потенциал Бора:
Z1Z 2 e 2
r
W (r )
exp( )
r
a
a a0 Z 2 1 / 3
a0
(19)
- радиус атома в модели Томаса-Ферми.
5,29 10 9 см – радиус первой боровской орбиты в
me e 2
атоме водорода
38

39. 4. Учет экранирования

● Сечение углового рассеяния в рамках первого
приближения Борна и с использованием потенциала
Бора:
d Z12 Z 22e 4
1
d
4E 2
S 2
(20)
(1
cos ) 2
2
1/3
Z
2
где
S
a
a0
- угол экранирования;
2S
4
p
- параметр экранирования;
/ 2Em - дебройлевская длина волны;
Е – кинетическая энергия частиц в СЦИ.
39

40. 4. Учет экранирования

● Сечение (20), выраженное через кинетическую
энергию Т1 налетающей частицы в ЛСК:
2
2 2
2 2
d Z1 Z 2 2 me c m1 m2
1
re
T1 m2 (1 2 cos ) 2
d
4
re
e2
me c 2
(21)
2,218 10 13 см – классический радиус электрона,
me=9,1091∙10-28 г
-
масса покоя электрона
40

41. 4. Учет экранирования

● Для небольших углов рассеяния формулу (20) можно
записать как:
Z12 Z 22 e 4
d
d
16 E 2
1
2 2
S
2
2
2
Z12 Z 22 e 4
E
2
(22)
2
2 2
S
Когда
S , то сечение рассеяния совпадает с
резерфордовским, т.е. экранирование поля ядра
атомными электронами несущественно
41

42. 4. Учет экранирования

Дифференциальное
сечение
упругого
рассеяния:
1 – без учета экранирования;
2 – с учетом экранирования.
При θ<θS сечение с учётом
экранирования стремится к
постоянному значению
42

43. 4. Учет экранирования

● Величина параметра экранирования зависит от
модели, которая используется для описания
пространственного распределения поля атомных
электронов. Выражение
S
4
2
1 Z 12/ 3
4 a0
2
(23)
соответствует потенциалу Бора.
43

44. 4. Учет экранирования

Полное сечение упругого рассеяния с
учётом экранирования:
2 2
2
m1 m2
1
2 2 me c
S
Z1 Z2
4
T1 m2 (1 )
re2
Для случая электронов:
Z2 ( Z2 1)e4
T12
1
S2 (1 S2 / 4)
44

45. 5. Упругое рассеяние электронов и позитронов

● Для электронов (позитронов) m1<<m2 и центр инерции
системы электрона и атома практически совпадают с
центром атома (его ядром), а угол θ совпадает с
углом рассеяния налетающего электрона φ1 в ЛСК.
Тогда
из
(21)
получаем
формулу
для
эффективного
дифференциального
сечения
рассеяния нерелятивистских электронов в ЛСК в
экранированном кулоновском поле атома:
d
d
2 2
2 2
Z 2 re me c
4
T1
1
(24)
(1 2 cos ) 2
45

46. 5. Упругое рассеяние электронов и позитронов

● Сечения Мотта:
- для углового рассеяния электронов как в
нерелятивисткой, так и в релятивистской области;
- получены без учета экранирования ядер атомными
электронами;
- учтены эффекты взаимодействия, связанные со
спином электрона
46

47. 5. Упругое рассеяние электронов и позитронов

Сечения Мотта записываются в виде:
d
d
RM ( E , Z 2 , )
d M d R
(25)
где RM ( E, Z 2 , ) - множитель Мотта.
Для нерелятивистских энергий RM≈1.
Для релятивистских – наблюдается сильное отличие Моттовского
сечения рассеяния от Резерфордовского
47

48. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

● При движении заряженных частиц в веществе в
результате упругих столкновений с атомами они
рассеиваются.
● Величина результирующего отклонения заряженной
частицы пропорциональна среднему отклонению в
отдельном акте упругого взаимодействия и числу
таких взаимодействий на ее пути в веществе.
S n0 S
- макроскопическое сечение
рассеяния,
оно дает среднее число упругих столкновений
частицы на единице пути.
Z21/3 - средний угол рассеяния электрона в
ср
упругих столкновениях
E
48

49. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

● Допустим, что:
1) Масса частицы много больше массы атома (т.е.
случай тяжёлой заряженной частицы), поэтому
m1 и 1
2)
Поскольку сечение упругого рассеяния сильно
вытянуто вперед, то будем использовать
малоугловое приближение , т.е. делаются замены:
sin ,
cos 1
2
2
49

50. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

Тогда средний угол рассеяния при прохождении
тяжёлой заряженной частицы в веществе может быть
выражен следующей приближенной формулой:
где
2
1
m
(26)
Z 12 / 3 e
4 LK 1
m1
e2
1
v
- постоянная тонкой структуры;
c 137
c
a 1/ 2
LK ln 0 ( AZ2 ) 1/6 ln 134( AZ2 ) 1/6
re
50

51. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

• Из (26) можно сделать следующие выводы о величине среднего
угла рассеяния заряженных частиц в веществе:
-
-
средний угол рассеяния увеличивается с увеличением атомного
номера вещества;
средний угол рассеяния увеличивается с уменьшением массы
налетающей частицы и ее скорости.
- легкие заряженные частицы рассеиваются
гораздо сильнее, чем тяжелые;
- чем меньше энергия частиц, тем сильнее они
рассеиваются.
51

52. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

В зависимости от среднего числа столкновений
n, которое испытывает налетающая заряженная
частица при прохождении в веществе условно
различают
- однократное,
- кратное,
- многократное,
- диффузное
упругое рассеяние.
52

53. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

Однократное упругое рассеяние имеет место,
когда, проходя в веществе путь S, частица
испытывает в среднем одно столкновение.
Это характерно для очень тонких слоев
1
S
вещества, когда
, т.е. меньше длины
S
свободного пробега частицы.
Угловое распределение ускоренных частиц,
испытавших однократное рассеяние, соответствует
дифференциальному сечению упругого рассеяния.
53

54. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

Если длина пути налетающей заряженной
частицы в веществе
частицы
от
1
s
S
направления
, то отклонение
первоначального
движения может быть связано с несколькими
последовательными актами рассеяния.
При среднем числе столкновений частицы
от 1 до 20 имеет место кратное рассеяние.
Если число столкновений больше 20, но в то
же время потери энергии частицей на пути S малы
по сравнению с начальной энергией, то имеет
место многократное рассеяние.
54

55. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

Если
1
S
S
и потери энергии велики, то
имеет место диффузное угловое распределение
частиц, прошедших путь S.
Для
электронов
диффузное
угловое
распределение наблюдается на глубине мишени,
превышающей половину пробега.
Угловое
распределение
рассеянных
электронов в этом случае имеет вид:
f ( ) ~ cos
2
55

56. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

Транспортная длина упругого рассеяния
(длина переноса) – среднее расстояние в
бесконечной
среде
в
направлении
первоначального
движения,
пройдя
которое, первичный мононаправленный
пучок становится изотропным.
56

57. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

Упругие столкновения электронов при их
движении в веществе ответственны в основном за
изменение направления их движения (рассеяние) и
очень мало влияют на изменение энергии, так как
энергия,
теряемая
электроном
в
упругих
столкновениях, пропорциональна отношению его массы
к массе ядра, которое очень мало.
При прохождении ускоренных ионов через
вещество в упругих столкновениях не только
изменяется направление их движения, но также
заметно теряется их энергия.
57

58. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

• Наиболее обоснованные и употребляемые
угловые распределения бомбардирующих
частиц, прошедших некоторый путь в веществе:
- распределение Гоудсмита-Саундерсона;
- распределение Мольер.
Они
задают
функцию,
представляющую
собой долю электронов, отклонившихся на
средний угол φ после прохождения в веществе
пути S.
58

59. 6. Влияние рассеяния на движение частиц

● Функция распределения, полученная Мольер, имеет
вид:
( 0)
f (1) ( ) f ( 2) ( )
f M ( )d f ( )
... d
2
B
B
(27)
φ – угол рассеяния частицы в ЛСК;
θ – угол рассеяния (параметр) в теории Мольер
59