Упругое рассеяние в центральном поле

1. Упругое рассеяние в центральном поле

Государственный университет «Дубна»
Факультет естественных и инженерных наук
Кафедра Ядерной физики
Специальный семинар по физике ядра и ядерным реакциям
В.В.Самарин
Упругое рассеяние в центральном поле
Вопрос 4
2017

2. Вопрос 4. Теория упругого рассеяния.

Дифференциальное сечение рассеяния.
Волновая функция и амплитуда рассеяния
Борновское приближение.
Парциальное разложение волновой функции и
амплитуды рассеяния.
• Оптическая модель упругого рассеяния.

3. Дифференциальное сечение рассеяния

Пример: упругое рассеяние быстрых
электронов на атомных ядрах
Зависимости от угла дифференциальных
сечений рассеяния электронов с энергией 750 МэВ
на ядрах кальция. Значения сечений рассеяния на
ядрах 40Ca увеличены в 10 раз, а на ядрах 48Ca
уменьшены в 10 раз.
Основным источником сведений о распределении электрического заряда в атомном ядре
явилось исследование рассеяния быстрых электронов на ядрах, начатое Р. Хофштадтером
с 1956 г. (Нобелевская премия по физике за 1961 г.). Схема опыта была аналогична схеме
опыта Резерфорда с заменой альфа-частиц от радиоактивного препарата на ускоренные
электроны. В типичных экспериментах (см. рис. ) интенсивный пучок релятивистских
электронов с энергией от 150 МэВ до нескольких ГэВ направлялся из ускорителя в камеру с
мишенью в виде тонкой плёнки. Измерялась интенсивность I(q) потока электронов,
рассеянных в элемент телесного угла dW. Отношение I(q) к плотности потока налетающих
электронов представляет собой дифференциальное сечение рассеяния ds/dW. Его значения
принято записывать в см2/ср., фм2/ср. (1 фм = 10-15 м), б/ср. (1 бн = 1 барн = 10-24 см2).

4. Волновая функция y и амплитуда рассеяния f(q)

z расходящаяся
плоская
волна
сферическая
волна
y exp(ikz )
1
y f (q) exp(ikr )
r
Плотность потока вдоль оси z
i *
*
jz
y
y
y
y
2m z
z
i
2i Im exp(ikz ) exp( ikz )
2m
z
k
v
m
Отношение I(q) к плотности потока
налетающих частиц представляет
собой дифференциальное сечение
рассеяния ds/dW,
Волновая функция на больших расстояниях
1
y exp(ikz ) f (q) exp(ikr )
r 2
Поток вероятности I(q) через dS=r dW
jr dS
i *
*
y
y
y
y
dS
2m r
r Детектор
i 1
2
2
2
i
Im
exp(
ikr
)
exp(
ikr
)
r
f
(
q
)
dW
2
2m r
r
k
2
2
f (q) d W v f (q) d W
m
d s f (q) d W
2
выражается в единицах бн/ср, 1 барн равен: 1 бн = 10-24 см2.

5. Борновское приближение

y
(0)
Борновское приближение
z
exp(ikz )
1
y exp(ikz ) f (q) exp(ikr )
r
m
свободное движение
y (0) k 2 y (0) 0
точное уравнение Шредингера
y k y
2
2m
2
в центральном
поле U(r)
Uy 0
приближение для волновой функции:
y y (0) y (1) , y (1)
f (q)
q 2k sin q 2
2
U (r )sin(qr ) rdr
q
0
Дифференциальное сечение
рассеяния
ds
2
f (q)
dW
y (0)
приближенное уравнение
y k y
(1)
2
(1)
2m
2
U y (0)
приближенное решение расходящаяся
на больших расстояниях сферическая
волна
a
U
1 exp(ikr ) 2m
U (r ) exp( iqr )dV
2
4
r
Условия применимости
1
(1)
y f (q) exp(ikr )
при малых скоростях
при больших скоростях
r
2
2
v
m
U
ka
, ka
, ka 1
f (q)
U (r ) exp( iqr )dV U
2
2
2
ma
a
ma
2
y (1)
1

6. Волновая функция частицы в центральном поле

Стационарное уравнение Шредингера
Hˆ y Ey,
2
2m
y U (r )y Ey,
y
2m
2
E U (r ) y 0
Собственные значения операторов квадрата и проекции момента импульса,
квадрата орбитального момента и проекции орбитального момента
Mˆ 2Ylm
Lˆ Ylm
2 2
2
l (l 1)Ylm ; Mˆ zYlm Lˆz mlYlm

7. Сферические гармоники и полиномы Лежандра: пример расчета в Maple

8. Сферические гармоники и полиномы Лежандра: пример расчета в MathCAD

9. Парциальное разложение волновой функции свободного движения

плоская волна
z
jl(x) – сферические функции Бесселя
exp(ikz ) exp(ikr cos q) i l (2l 1) jl (kr ) Pl (cos q)
l 0
1 l
l
i (2l 1) sin(kr ) Pl (cos q)
kr l 0
2
Волновая функция на больших расстояниях
от начала координат
парциальные волны:
p-волна l=1
s-волна l=0
d-волна l=2

10. Парциальное разложение волновой функции свободного движения

плоская волна
z
парциальные волны:
exp(ikz ) exp(ikr cos q) i l (2l 1) jl (kr ) Pl (cos q)
l 0
1 l
l
i (2l 1) sin(kr ) Pl (cos q)
kr l 0
2
Волновая функция на больших расстояниях
от начала координат
s-волна l=0
jl(x) – сферические
функции Бесселя
jl (kr )
J l 1 2 (kr )
2kr

11. Парциальное разложение волновой функции свободного движения

плоская волна
z
парциальные волны:
exp(ikz ) exp(ikr cos q) i l (2l 1) jl (kr ) Pl (cos q)
l 0
1 l
l
i (2l 1) sin(kr ) Pl (cos q)
kr l 0
2
Волновая функция на больших расстояниях
от начала координат
p-волна l=1
jl(x) – сферические
функции Бесселя
jl (kr )
z
J l 1 2 (kr )
2kr
z

12. Парциальное разложение волновой функции свободного движения

плоская волна
z
парциальные волны:
exp(ikz ) exp(ikr cos q) i l (2l 1) jl (kr ) Pl (cos q)
l 0
1 l
l
i (2l 1) sin(kr ) Pl (cos q)
kr l 0
2
Волновая функция на больших расстояниях
от начала координат
d-волна l=2
jl(x) – сферические
функции Бесселя
jl (kr )
J l 1 2 (kr )
2kr

13. Парциальное разложение волновой функции и амплитуды рассеяния

z Волновая функция
на больших расстояниях
от рассеивающего центра
плоская
волна
1
y exp(ikz ) f (q) exp(ikr )
r
exp(ikz ) exp(ikr cos q)
21
l
a
sin(
kr
) Pl (cos q)
l
r l 0
2
1 l
l
i (2l 1)sin(kr ) Pl (cos q)
kr l 0
2
y Al (2l 1) Rkl (r ) Pl (cos q)
l 0
y
1
l
A
(2
l
1)sin(
kr
l ) Pl (cos q)
l
2 kr l 0
2
1
l
y
(2
l
1)
(
1)
exp( ikr ) exp(2i l ikr ) Pl (cos q)
2kr l 0
Амплитуда рассеяния
1
f (q)
(2l 1) exp(2i l ) 1 Pl (cos q)
2ik l 0
2
дифференциальное d s
f
(
q
)
сечение рассеяния d W
Парциальные фазы рассеяния
4
полное сечение рассеяния равно s 2 f (q) sin qd q 2 (2l 1) sin 2 l
k l 0
сумме парциальных сечений
0
2

14. Радиальная волновая функция для упругого рассеяния медленных частиц

Квадраты радиальных частей волновой функции и фаза рассеяния 0
2
sin (kr )
Свободное
движение
0≈0
Рассеяние
sin 2 (kr 0 )
0 ka, k 0
a
– длина рассеяния
U (r ) 0
0
4
s 2 sin 2 0 4 a 2
k
f
1
exp(2i l ) 1 P0
2ik
Рассеяние изотропно
U (r )

15. Пример волновой функции для рассеяния быстрых тяжелых частиц в кулоновском поле

L
y Al (2l 1) Rkl (r ) Pl (cos q)
max
16О
+ 208Pb
l 0
плотность
вероятности
траектории
В.В. Самарин и др. // Изв. АН. Сер. физ.,
2001. Т. 65, № 5. c.733
Квантовая (верхняя половина) и классическая
(нижняя половина) картины столкновения ядер
16О + 208Pb: для энергии E=70 МэВ,
упругое рассеяние,
Окружность - точки соприкосновения ядер.
Степень почернения пропорциональна
плотности вероятности

16. Пример волновой функции для рассеяния быстрых тяжелых частиц в кулоновском поле

Lmax
y Al (2l 1) Rkl (r ) Pl (cos q) Ni+Pb E=200 МэВ
l 0
E
плотность вероятности
Волновая функция на больших
расстояниях от ядра при r
y k (r , q) exp ikr cos q i ln kr kr cos q
fC (q)
exp i kr ln 2kr .
r
- кулоновский параметр (параметр
Зоммерфельда)
Z Z e2
1 22
k
Кулоновская амплитуда рассеяния
+
fC(q) известна в явном виде
сечение рассеяния
Z Z e2
d sR
2
f C (q) 1 2 sin 4 q 2
dW
4E
траектории
совпадает с классической формулой

17. Пример волновой функции для рассеяния быстрых тяжелых частиц в поле кулоновских и ядерных сил

E
Lmax
y Al (2l 1) Rkl (r ) Pl (cos q)
l 0
Ni+Pb E=300 МэВ
Волновая функция на больших расстояниях от ядра при r
y k (r , q) exp ikr cos q i ln kr kr cos q
f C (q) f N (q)
exp i kr ln 2kr .
r
- кулоновский параметр (параметр
Зоммерфельда)
Z1Z 2e2
k 2
Кулоновская амплитуда рассеяния
fC(q)
известна в явном виде
Ядерная амплитуда рассеяния
плотность вероятности
fN(q) находится на основе
численного решения радиальных
траектории
уравнений Шредингера для
парциальных волн.

18. Оптическая модель упругого рассеяния

Различные состояния, образующиеся после столкновения частиц, называют каналами реакции. Например,
при столкновении протона с ядром А возможны следующие каналы реакции:
p+A p+A (упругое рассеяние)
p+A* (неупругое рассеяние
с возбуждением ядра-мишени)
n+A (выбивание нейтрона)
А1+A2 (деление ядра)
другие каналы
При энергиях, превышающих порог неупругих
процессов, частица-снаряд может выйти из упругого
канала. При этом число упруго рассеянных частиц
всегда меньше, чем число частиц налетающих на
ядро-мишень.
В нерелятивистской квантовой механике уменьшение потока частиц может быть смоделировано
добавлением отрицательной мнимой части iW(r), W(r)<0, к потенциалу взаимодействия ядер V(r).
Нестационарное уравнение Шредингера
Уравнение непрерывности, описывающее
поглощение частиц
d
2
divj W (r ) 0
dt t
V (r ) VC (r ) VN (r ) W0
W (r )
2
i
V (r ) iW (r ) (r , t )
t 2m
вектор плотности потока вероятности
плотность вероятности
(r , t ) *
Фешбах, 1954 г.
j (r , t )
m Im
2im
*
*
*
V0
W0
объемное
r RW поглощение
1 exp
aW
(r RW )2
W (r ) W0 exp
2
b
поверхностное поглощение
NRV

19. Литература

1.
2.
3.
Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Краткий курс
теоретической физики. Т. 2. Квантовая механика. −
М. Наука. 1971.
Фрауэнфельдер, Г. Субатомная физика. /Г.
Фрауэнфельдер, Э. Хэнли. – М.: Мир. 1979.
Nuclear Reaction Video. База знаний по
низкоэнергетическим ядерным реакциям.
4.
http://nrv.jinr.ru/nrv/.
5.
Н.Мотт, Г.Месси. Теория атомных столкновений. М.:
Мир, 1969,.