Линейная алгебра. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы

1. Линейная алгебра

Ранг матрицы
Вычисление ранга матрицы

2. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
a11 a12
a 21 a 22
a
a32
31
am1 am 2
a13
a 23
a33
am 3
a1n
aa1111 a12 aa131n
a 2n
a1112 aa121n
22aa 3121 a3222 aa233n
M33M
a3n M
a 2132 aa223n
aam311 aam322 a33mn
amn
Выделим в этой матрице произвольное число k строк и k столбцов.
Элементы матрицы А, стоящие на пересечении выделенных строк
и столбцов, образуют определитель k - того порядка.
Минором k-того порядка матрицы А называют определитель,
полученный из А выделением произвольных k строк и k столбцов.

3. Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от
нуля минора этой матрицы.
2 3 4 5
A 0 2 3 1
0 2 2 4
Матрица А имеет 4 минора 3 - его порядка,
например:
18 миноров 2 - го порядка, например:
2 3 4
0 2 3 20
0 2 2
2 3
4
0 2
12 миноров 1 - го порядка – сами элементы.
Наибольший порядок отличного от нуля минора
этой матрицы равен 3, поэтому: r ( A ) 3

4. Вычисление ранга матрицы

Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется
базисным минором. Он может быть не единственным.
Можно показать, что эквивалентные преобразования не меняют
ранга матрицы. Поэтому, когда требуется вычислить ранг матрицы,
ее приводят к треугольному виду.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы,
приведенной к треугольному виду
1 3 2 1 3 2 ( 2) 1 3 2
A 0 5 4 ~ 0 5 4
0 5 4
~
1 7 6
0 0 0
0 10 8
r( A ) 2