Теорема Остроградского-Гаусса

1.

среда, 22 ноября 2023 г.
Электростатика
Кузнецов Сергей
Иванович
1
доцент кафедры

2.

Тема 2. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА
2.1. Силовые линии электростатического поля
2.2. Поток
вектора
напряженности
2.1. Силовые
линии
электростатического поля
2.3. Теорема
2.2.Остроградского-Гаусса
Поток вектора напряженности
2.4. Дифференциальная
форма теоремы
2.3. Теорема Остроградского-Гаусса
Остроградского-Гаусса
2.4. Дифференциальная форма теоремы ОстроградскогоГаусса
2.5. Вычисление электростатических
полей с
2.5. Вычислениетеоремы
электростатических
полей с помощью
помощью
Остроградского
- Гаусса
Остроградского-Гаусса
2.5.1. Поле теоремы
бесконечной
равномерно заряженной
2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной
плоскости
плоскости
2.5.2. Поле двух бесконечных равномерно
2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей
заряженных параллельных плоскостей
2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)
2.5.3. Поле бесконечно длинного равномерно
2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой
заряженного
прямого кругового
(нити)
линейной плотностью
заряда, но цилиндра
разным знаком
2.5.4. Поле
коаксиальных
цилиндров
2.5.5. двух
Поле заряженного
пустотелого
шарас
одинаковой
плотностью
заряда,
2.5.6. линейной
Поле объемного
заряженного
шара но
разным знаком
2.5.5. Поле равномерно заряженной сферы.
2
2.5.6. Поле объемного заряженного шара

3. 2.1. Силовые линии электростатического поля

• Теорема Остроградского-Гаусса,
которую мы докажем и обсудим позже,
устанавливает связь между
электрическими зарядами и
электрическим полем. Она
представляет собой более общую и
более изящную формулировку закона
Кулона.
3

4.

• Остроградский Михаил Васильевич
(1801 – 1862)
• отечественный математик и механик.
Учился в Харьковском ун-те (1816 –
1820), совершенствовал знания в
Париже (1822 – 1827).
• Основные работы в области
математического анализа,
математической физики, теоретической
механики. Решил ряд важных задач
гидродинамики, теории теплоты,
упругости, баллистики, электростатики,
в частности задачу распространения
волн на поверхности жидкости (1826
г.). Получил дифференциальное
уравнение распространения тепла в
твердых телах и жидкостях. Известен
теоремой Остроградского-Гаусса в
электростатике (1828 г.).
4

5.

• Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855)
немецкий математик, астроном и физик.
• Исследования посвящены многим разделам
физики.
• В 1832 г. создал абсолютную систему мер
(СГС), введя три основных единицы: единицу
времени – 1 с, единицу длины – 1 мм, единицу
массы – 1 мг.
• В 1833 г. совместно с В. Вебером построил
первый в Германии электромагнитный
телеграф.
• Еще в 1845 г. пришел к мысли о конечной
скорости распространения электромагнитных
взаимодействий. Изучал земной магнетизм,
изобрел в 1837 г. униполярный магнитометр, в
1838 г. – бифилярный. В 1829 г.
• Сформулировал принцип наименьшего
принуждения (принцип Гаусса).
• Один из первых высказал в 1818 г.
предположение о возможности существования
5
неевклидовой геометрии.

6.

Успехи К. Гаусса в науке столь велики, что еще при
жизни ему присвоили титул «короля математиков».
Эти слова были выгравированы на памятной
медали, выпущенной в 1855 году. В тот год он, к
сожалению, и умер.

7.

• Основная ценность теоремы
Остроградского-Гаусса состоит в том,
что она позволяет
глубже понять
природу электростатического поля и
устанавливает более общую связь
между зарядом и полем.
7

8.

• силовые линии – это линии,
касательная к которым в любой точке
поля совпадает с направлением
вектора напряженности
8

9.

Однородным называется
электростатическое поле, во всех точках
которого напряженность одинакова по
величине и направлению.
Однородное электростатическое поле
изображается параллельными силовыми
линиями на равном расстоянии друг от друга
9

10.

В случае точечного заряда поле
неоднородно, линии напряженности исходят из
положительного заряда и уходят в бесконечность; и
из бесконечности входят в отрицательный заряд.
2
Т.к.
Е ~ 1/ r ,
то густота силовых линий обратно
пропорциональна квадрату расстояния от
заряда
10

11.

Для системы зарядов, как видим,
силовые линии направлены от
положительного заряда к
отрицательному
11

12.

12

13.

Густота силовых линий должна
быть такой, чтобы единичную
площадку, нормальную к вектору
напряженности пересекало такое их
число, которое равно модулю
вектора
напряженности
, т.е. Е
число линий Ф
Е
.
S
S
13

14. 2.2. Поток вектора напряженности

Полное число силовых линий,
проходящих через поверхность S
называется потоком вектора
напряженности Ф через эту
поверхность
• В векторной форме можно записать
ФЕ Е, S
– скалярное произведение
двух векторов,
где вектор S nS .
14

15.

ФЕ Е, S
Таким образом, поток вектора есть
скаляр, который в зависимости от
величины угла α может быть как
положительным, так и отрицательным.
15

16.

Для первого рисунка – поверхность А1 окружает
положительный заряд и поток здесь направлен
наружу, т.е. ФE 0.
Поверхность А2 – окружает отрицательный заряд,
здесь
ФЕ 0 и направлен внутрь.
Общий поток через поверхность А равен нулю.
Опишите второй рисунок самостоятельно.
16

17. 2.3. Теорема Остроградского-Гаусса

2.3. Теорема ОстроградскогоГаусса
• Итак, по определению, поток вектора
напряженности электрического поля
равен числу линий напряженности,
пересекающих поверхность S.
17

18.

• поток вектора напряженности через
произвольную элементарную площадку
dS будет равен:
dФЕ ЕdS cos α EndS .
• Т.е. в однородном поле
ФЕ ES .
• В произвольном электрическом поле
ФЕ ЕndS EdS.
S
S
18

19.

• Подсчитаем поток вектора через
произвольную замкнутую поверхность S,
окружающую точечный заряд q .
Окружим заряд q сферой S1.
19

20.

• Центр сферы совпадает с центром
заряда. Радиус сферы S1 равен R1.
• В каждой точке поверхности S1проекция
Е на направление
1
q
внешней нормали
En
.
2
4πε0 R1
одинакова и равна
20

21.

Тогда поток через S1
q
q
2
ФE En dS
4
π
R
.
1
2
ε
4
πε
R
0
0
1
S1
q
ФE .
ε0
21

22.

• Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:
q
q
q
2
ФЕ
dS
4πR2 .
2
2
ε0
4πε0 R2
S2 4 πε 0 R2
q
ФЕ .
ε0

23.

• Из непрерывности линии E следует, что поток
и через любую произвольную поверхность S
будет равен этой же величине:
q
ФЕ ЕndS
ε
0
S
• – теорема Гаусса для одного заряда.
23

24.

• Для любого числа произвольно
расположенных зарядов, находящихся
внутри поверхности:
q
ФЕ Еn dS
ε0
S
• – теорема Гаусса для нескольких
зарядов:
• Поток вектора напряженности
электрического поля через замкнутую
поверхность в вакууме равен
алгебраической сумме всех зарядов,
расположенных внутри поверхности,
деленной на ε0.
24

25.

Полный поток проходящий через S3, не
охватывающую заряд q, равен нулю:
Ф3 0
25

26.

• Таким образом, для точечного заряда q,
полный поток через любую замкнутую
поверхность S будет равен:
q
ФЕ
ε 0 – если заряд расположен
внутри замкнутой поверхности;
• ФЕ 0 – если заряд расположен вне
замкнутой поверхности;
• этот результат не зависит от формы
поверхности, и знак потока совпадает
со знаком заряда.
26

27.

Электрические заряды могут быть
«размазаны» с некоторой объемной
плотностью различной в разных местах
пространства:
ρ dq / dV
• Здесь dV – физически бесконечно малый
объем, под которым следует понимать такой объем,
который с одной стороны достаточно мал, чтобы в
пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с
другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться
дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен
целому числу элементарных зарядов электрона или
протона .
27

28.

• Суммарный заряд объема dV будет равен:
qi ρdV .
V
• Тогда из теоремы Гаусса можно получить:
1
ФE ЕdS
ρdV
ε
0V
S
1
ФE dV
ε0 V
• – это ещё одна форма записи теоремы
Остроградского-Гаусса, если заряд
неравномерно распределен по объему.
28

29. 2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса

• Пусть заряд распределен в
пространстве V, с объемной
плотностью ρ . Тогда
q
E
d
S
ε0
ρ ΔV
EdS ε 0
1 ρ
EdS
ΔV
ε0
29

30.

• Теперь устремим ΔV 0, стягивая его к
интересующей нас точке. Очевидно, что
при этом ρ будет стремиться к ρ в
данной точке, т.е.
ρ
ρ
.
ε0
ε0
Величину, являющуюся
пределом
отношения
ЕdS к V, при ΔV 0
называют дивергенцией поля Е
div E
30

31.

Дивергенция поля Е
1
E
d
S
ΔV 0 ΔV
divE lim
(2.4.1)
• Аналогично определяется дивергенция
любого другого векторного поля.
• Из этого определения следует, что
дивергенция является скалярной
функцией координат.
• В декартовой системе координат
Ex E y Ez
div E
.
x
y
z
31

32.

• Итак,
ρ
div E .
ε0
(2.4.3)
Это теорема ОстроградскогоГаусса в дифференциальной форме.
• Написание многих формул упрощается,
если ввести векторный
дифференциальный оператор
(Набла)
i
j k,
x
y
z
где i, j, k – орты осей (единичные векторы).
32

33.

• Сам по себе оператор смысла не
имеет. Он приобретает смысл в
сочетании с векторной или скалярной
функцией, на которую символично
умножается:
E x E y E z
Е x Ex y E y z Ez
x
y
z
• дифференциальная форма теоремы
Остроградского-Гаусса.
ρ
E
ε0
33

34.

• В тех точках поля, где div E 0 –
источники поля
(положительные заряды),
div E 0 – стоки (отрицательные
• где
заряды).
• Линии напряженности выходят из
источников и заканчиваются в
стоках.
34

35. 2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

dq
σ
,
dS
35

36.

Поверхностная плотность заряда на
произвольной плоскости площадью S
d
q
определяется по формуле:
σ
,
dS
dq – заряд, сосредоточенный на площади dS;
dS – физически бесконечно малый участок
поверхности.
36

37.

• Представим себе цилиндр с образующими,
перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS,
расположенными симметрично относительно
плоскости
• Тогда
E ' E ' ' E.
37

38.

• Суммарный поток через замкнутую
поверхность (цилиндр) будет равен:
ФЕ 2ΔSE.
• Внутри поверхности заключен заряд .
Следовательно, из теоремы
Остроградского-Гаусса получим:
q
1
ФЕ 2ΔSE σΔS
ε0
ε0
• откуда видно, что напряженность
поля плоскости S:
σ
(2.5.1)
E
2ε 0
.
38

39. 2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей

• Пусть две бесконечные плоскости
заряжены разноименными зарядами с
одинаковой по величине плотностью σ
39

40.

• Результирующее поле, находится как
суперпозиция полей, создаваемых каждой из
плоскостей.
• Тогда внутри плоскостей
E E E отсюда E σ / ε 0
• Вне плоскостей напряженность поля
E 0.
• Полученный результат справедлив и для
плоскостей конечных размеров, если
расстояние между плоскостями гораздо
меньше линейных размеров плоскостей
(плоский конденсатор).
40

41.

•Распределение напряженности
электростатического поля между пластинами
конденсатора показано на рисунке:
41

42.

• Между пластинами конденсатора
действует сила взаимного
притяжения (на единицу площади
пластин):
2
т.е.
F SσE
Fед
S
S
Fед
2 0
• Механические силы, действующие
между заряженными телами,
называют пондермоторными.
42

43.

• Сила притяжения между пластинами
2
конденсатора:
σ S
F
,
2ε 0ε
• где S – площадь обкладок конденсатора.
q
• Т.к.
σ
S
Eε 0
ε0 E S
q
F
2ε 0 εS
2
2
2
• Это формулы для расчета пондермоторной силы
43

44. 2.5.3. Поле равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

• Пусть поле создается бесконечной
цилиндрической поверхностью радиуса
R, заряженной с постоянной линейной
плотностью
dq
λ
dl
• где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке
цилиндра
44

45.

Представим вокруг цилиндра (нити)
коаксиальную замкнутую поверхность
(цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l
(основания цилиндров перпендикулярно оси).
45

46.

• Для оснований цилиндров
• для боковой поверхности E
от расстояния r.
En 0,
т.е. зависит
E
(r
),
n
• Следовательно, поток вектора через
рассматриваемую поверхность, равен
ФE E (r ) S E (r )2πrl.
46

47.

• При r R, на поверхности будет заряд
• По теореме Остроградского-Гаусса
• Тогда
λ
Е (r )
при r R
2πε0r
q λl.
λl
E (r )2πrl
ε0
• Если r R, E (r ) 0 , т.к. внутри замкнутой
47
поверхности зарядов нет.

48.

• График
распределения
напряженности
электростатического
поля цилиндра
0 внутри цилиндра, т.к. там нет зарядов
λ
q
E
или
на поверхности цилиндра
2 πε0 Rl
2 πε0 R
λ
q
или
вне цилиндра
2 πε0 rl
2 πε0 r
48

49. 2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

E 0
49

50.

Внутри меньшего и вне большего цилиндров
поле будет отсутствовать
E 0
В зазоре между цилиндрами, поле
определяется так же, как в п. 2.5.3:
λ
E (r )
.
2πε0 r
50

51. Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем:

0 внутри меньшего и вне большего цилиндров зарядов не
E λ
2πε r между цилиндрами, когда R1 r R2
0
• Это справедливо и
для бесконечно
длинного цилиндра,
и для цилиндров
конечной длины,
если зазор между
цилиндрами намного
меньше длины
цилиндров
(цилиндрический
конденсатор).
среда, 22 ноября 2023
г.
51

52. 2.5.5. Поле заряженной сферы

52

53.

• Вообразим вокруг шара – сферу
радиуса r (рис).
53

54.

• Если r R, то внутрь воображаемой
сферы попадет весь заряд q,
распределенный по сфере, тогда
q
ФE E (r ) S Е (r )4πr
ε0
2
• откуда поле вне сферы:
q
E (r )
.
2
4πε0r
• Внутри сферы, при r R,поле будет
равно нулю, т.к. там нет зарядов:
E (r ) 0.
54

55.

Как видно, вне сферы поле
тождественно полю точечного заряда той же
величины, помещенному в центр сферы.
q
E
.
2
4πε0 r
55

56. 2.5.6. Поле объемного заряженного шара

• Для поля вне шара радиусом R получается тот же
результат, что и для пустотелой сферы, т.е.
справедлива формула:
q
E (r )
2
4πε0 r
56

57.

• Внутри шара при r R, сферическая
поверхность будет содержать в себе заряд,
равный
4
q ρ πr ,
3
3
q
• где ρ – объемная плотность заряда: ρ
V
объем шара:
4
V
πr 3
3
• Тогда, по теореме Остроградского-Гаусса:
1 4 3
ФE E (r ) S Е (r ) 4πr ρ πr
ε0 3
2
среда, 22 ноября 2023
г.
57

58.

• Т.е. внутри шара
ρr
E (r )
3ε 0
• Т.е., внутри шара имеем
E ~ r.
58

59. Таким образом, имеем: поле объемного заряженного шара

qr
ρr
внутри шара (r R)
3
3
ε
4
πε
R
0
0
q
E
на поверхности шара (r R)
2
4 πε0 R
q
вне шара (r R)
2
4 πε0 r
59

60.

среда, 22 ноября 2023 г.
60