Теорема Остроградского-Гаусса для электростатических полей

1.

{
§ 2. ТЕОРЕМА
ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА
ДЛЯ
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ.

2.

Остроградский Михаил Васильевич
(1801 – 1862), отечественный математик и
механик. Учился в Харьковском ун-те
(1816 – 1820), совершенствовал знания в
Париже (1822 – 1827).
Основные работы в области
математического анализа, математической
физики, теоретической механики.
Решил ряд важных задач гидродинамики,
теории теплоты, упругости, баллистики,
электростатики, в частности задачу
распространения волн на поверхности
жидкости (1826 г.).
Получил дифференциальное уравнение
распространения тепла в твердых телах и
жидкостях.
Известен как соавтор теоремы
Остроградского-Гаусса в электростатике
(1828 г.).

3.

Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855)
немецкий математик, астроном и физик.
В 1832 г. создал абсолютную систему мер
(СГС), введя три основных единицы:
единицу времени – 1 с, единицу длины – 1
мм, единицу массы – 1 мг.
В 1833 г. совместно с В. Вебером построил
первый в Германии электромагнитный
телеграф.
Еще в 1845 г. пришел к мысли о конечной
скорости распространения
электромагнитных взаимодействий. Изучал
земной магнетизм, изобрел в 1837 г.
униполярный магнитометр.
Сформулировал принцип наименьшего
принуждения (принцип Гаусса).
Один из первых высказал в 1818 г.
предположение о возможности
существования неевклидовой геометрии.

4.

Основная ценность теоремы Остроградского-Гаусса
состоит в том, что она позволяет глубже понять
природу электростатического поля и устанавливает
более общую связь между зарядом и полем.
2.1. Поток вектора напряжённости
Число силовых линий электростатического поля,
пронизывающих единицу площади поверхности,
перпендикулярную линиям напряжённости,
должно
быть равно модулю вектора E . И называется потоком
вектора напряженности ФE через эту поверхность

5.

Полное число силовых линий,
проходящих через поверхность S
называется потоком вектора
напряженности Ф через эту
поверхность.
В векторной форме можно записать
– скалярное произведение двух
векторов, где вектор
.
Ф E ( E , S)
S nS
Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в
зависимости от величины угла α может быть как
положительным, так и отрицательным.

6.

Густота силовых линий должна быть
такой, чтобы единичную площадку,
нормальную к вектору
напряженности пересекало такое их
число, которое равно
модулю вектора
напряженности Е , т.е.
число линий Ф
Е
.
S
S

7.

если на рисунке выделить площадку
S
то напряженность изображенного
поля будет равна
S 2м ,
2
Ф 4
B
E 2 .
S 2
м

8.

Для первого рисунка – поверхность А1 окружает
положительный заряд и поток здесь направлен
наружу, т.е. Ф E 0 .
Поверхность А2 – окружает отрицательный заряд,
здесь Ф Е 0
и направлен внутрь.
Общий поток через поверхность А равен нулю.

9. 2.3. Теорема Остроградского-Гаусса

Итак, по определению, поток вектора
напряженности электрического поля
равен числу линий напряженности,
пересекающих поверхность S.
поток вектора напряженности
через произвольную
элементарную площадку dS
будет равен:
d Ф Е Е d S cos α E n d S .
Т.е. в однородном поле
В произвольном
электрическом поле
Ф Е ES .
Ф Е Е n d S E d S.

10.

Подсчитаем поток вектора через произвольную
замкнутую поверхность S, окружающую точечный
заряд q .
Окружим заряд q сферой S1.

11.

Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1
равен R1.
В каждой точке поверхности S1 проекция Е на
направление внешней нормали одинакова и равна
1 q
En
.
2
4 πε 0 R1

12.

Тогда поток через S1
q
q
q
2
Ф
.
Ф E E n dS
4
π
R
.
E
1
2
ε
ε
4
πε
R
0
0
0 1
S1

13.

Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую
радиус R2:
q
q
q
2
ФЕ
dS
4 πR2 .
2
2
ε0
4 πε 0 R2
S 2 4 πε 0 R 2
q
ФЕ .
ε0

14.

Из непрерывности
линии E следует, что
поток и через любую
произвольную
поверхность S будет
равен этой же
величине:
q
ФЕ Е n dS
ε
0
S
– теорема Гаусса для
одного заряда.

15.

Для любого числа произвольно расположенных
зарядов, находящихся внутри поверхности:
ФЕ
q
Е dS
n
ε0
S
– теорема Гаусса для нескольких зарядов.
Поток вектора напряженности
электрического поля через замкнутую
поверхность в вакууме равен алгебраической
сумме всех зарядов, расположенных внутри
поверхности, деленной на ε0.

16.

Полный поток проходящий через S3, не
охватывающую заряд q, равен нулю:
Ф3 0

17.

Таким образом, для точечного заряда q, полный
поток через любую замкнутую поверхность S
будет равен:
q
ФЕ
ε0
– если заряд расположен внутри замкнутой
поверхности;
ФЕ 0
– если заряд расположен вне замкнутой поверхности;
этот результат не зависит от формы
поверхности, и знак потока совпадает со знаком
заряда.

18.

Электрические заряды могут быть «размазаны» с
некоторой объемной плотностью различной в
разных местах пространства:
ρ dq / dV
Здесь dV – физически бесконечно малый объем, под
которым следует понимать такой объем, который
с одной стороны достаточно мал, чтобы в
пределах его плотность заряда считать
одинаковой, а с другой – достаточно велик, чтобы
не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то,
что любой заряд кратен целому числу
элементарных зарядов электрона или протона .

19.

Суммарный заряд объема dV будет равен:
qi ρdV .
V
Тогда из теоремы Гаусса можно получить:
1
Ф E Еd S ρ d V
ε
0V
S
– это
ещё одна форма записи теоремы
Остроградского-Гаусса, если заряд неравномерно
распределен по объему.
1
ФE ρdV
ε0 V

20. 2.4. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса

Пусть заряд распределен в пространстве V, с
объемной плотностью ρ . Тогда
ρ ΔV
EdS ε 0
q
EdS ε 0
1 ρ
EdS
ΔV
ε0
Величину,
являющуюся пределом отношения
ЕdS к V, при Δ V 0 , называют
дивергенцией поля Е и обозначается div E

21.

Дивергенция поля Е
1
E
d
S
ΔV 0 Δ V
div E lim
Аналогично определяется дивергенция
любого другого векторного поля.
Из этого определения следует, что дивергенция
является скалярной функцией координат.
В декартовой системе координат
E x E y E z
div E
.
x
y
z

22.

Итак,
ρ
div E .
ε0
Это теорема Остроградского-Гаусса в
дифференциальной форме.
Написание многих формул упрощается, если
ввести векторный дифференциальный
оператор (Набла)
где i, j, k – орты осей (единичные векторы).
i
j k,
x
y
z

23.

Сам по себе оператор смысла не имеет. Он
приобретает смысл в сочетании с векторной
или скалярной функцией, на которую
символично умножается:
E x E y E z
Е xEx y Ey z Ez
x
y
z
дифференциальная форма теоремы
Остроградского-Гаусса.
ρ
E
ε0

24. 2.5. Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса 2.5.1. Поле бесконечной однородно заряженной

плоскости
dq
σ
,
dS

25.

Поверхностная плотность заряда на произвольной
плоскости площадью S определяется по формуле:
dq
σ
,
dS
dq – заряд, сосредоточенный на площади dS;
dS – физически бесконечно малый участок
поверхности.

26.

Представим себе цилиндр с образующими,
перпендикулярными плоскости, и основаниями
ΔS, расположенными симметрично относительно
плоскости
Тогда
E ' E '' E.

27.

Суммарный поток через замкнутую
поверхность (цилиндр) будет равен:
Ф Е 2 Δ SE .
Внутри поверхности заключён заряд .
Следовательно, из теоремы ОстроградскогоГаусса получим:
q
1
ФЕ
2 Δ SE σ Δ S
ε0
ε0
откуда видно, что напряжённость поля
плоскости S равна:
σ
E
.
2ε 0

28. 2.5.2. Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены
разноимёнными зарядами с одинаковой по
величине плотностью σ

29.

Результирующее поле, как было сказано
выше, находится как суперпозиция полей,
создаваемых каждой из плоскостей. Тогда
внутри плоскостей
E E E отсюда E σ / ε 0
Вне плоскостей напряженность поля
E 0.
Полученный результат справедлив и для
плоскостей конечных размеров, если
расстояние между плоскостями гораздо
меньше линейных размеров плоскостей
(плоский конденсатор).

30.

•Распределение напряженности
электростатического поля между пластинами
конденсатора показано на рисунке:

31.

Между пластинами конденсатора
действует сила взаимного
притяжения (на единицу площади
пластин):
F Sσ E
Fед
S
S
σ
Fед
2ε 0 ε
2
Механические силы, действующие между
заряженными телами, называют
пондермоторными.

32.

Сила притяжения между пластинами
2
конденсатора:
σ S
F
,
2ε 0
где S – площадь обкладок конденсатора.
Т.к.
q
σ
S
Eε 0
ε0E S
q
F
2ε 0 εS
2
2
2
Это формула для расчета пондермоторной силы

33. 2.5.3. Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити)

Пусть поле создаётся бесконечной
цилиндрической поверхностью радиуса R,
заряженной с постоянной линейной плотностью
dq
λ
dl
где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке
цилиндра

34.

Представим вокруг цилиндра (нити)
коаксиальную замкнутую поверхность
(цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l
(основания цилиндров перпендикулярно оси).

35.

Для оснований цилиндров
для боковой поверхности
расстояния r.
E n 0,
т.е. зависит от
E n E (r ),
Следовательно, поток вектора через рассматриваемую
поверхность, равен
Ф E E ( r ) S E ( r ) 2 π rl .

36.

Приr R , на поверхности будет заряд
q λl .
λl
По теореме Остроградского-Гаусса E ( r ) 2 π rl
ε0
Тогда
λ
Е (r )
2 πε 0 r
при r R
Если r R , E ( r ) 0 , т.к. внутри замкнутой
поверхности зарядов нет.

37.

Графически
распределение
напряженности
электростатического
поля цилиндра
показано на рис
0 внутри цилиндра, тт.ктта нет зарядов
λ
q
E
или
на поверхности цилиндр
2 πε0 Rl
2 πε0 R
λ
q
или
вне цилиндра
2 πε0 rl
2 πε0 r

38. 2.5.4. Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

с одинаковой линейной плотностью λ,
но разным знаком
E 0

39.

Внутри меньшего и вне большего цилиндров
поле будет отсутствовать E 0
В зазоре между цилиндрами, поле
определяется так же, как в п. 2.5.3:
λ
E (r )
.
2 πε 0 r

40. Таким образом для коаксиальных цилиндров имеем:

0 внутри меньшего и вне большего цилиндров зарядов нет
E λ
2 πε r между цилиндрами, когда R1 r R2
0
Это справедливо и
для бесконечно
длинного цилиндра,
и для цилиндров
конечной длины,
если зазор между
цилиндрами
намного меньше
длины цилиндров
(цилиндрический
конденсатор).

41. 2.5.5. Поле заряженного пустотелого шара

42.

Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис).

43.

r R,
q
Ф E воображаемой
E ( r ) S Е ( r )сферы
4 πr попадет
Если
то внутрь
весь заряд q,
ε
0
распределенный по сфере, тогда
2
q
E (r )
.
2
4 πε 0 r
откуда поле вне сферы:
Внутри сферы, при
зарядов:
r R,
поле будет равно нулю, т.к. там нет
E (r ) 0.

44.

Как видно, вне сферы поле тождественно полю
точечного заряда той же величины,
помещенному в центр сферы.

45. 2.5.6. Поле объемного заряженного шара

Для поля вне шара радиусом R получается тот же
результат, что и для пустотелой сферы, т.е.
справедлива формула:
q
E (r )
2
4 πε 0 r

46.

r R,
Внутри шара при
себе заряд, равный
4 3
q ρповерхность
πr , будет содержать в
сферическая
3
4 заряда:
где ρ – объемная плотность
V πr 3
объем шара:
3
q
ρ
V
Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем
1 4 3
Ф E E ( r ) S Е ( r ) 4 πr ρ πr
ε0 3
2

47.

ρr
Т.е. внутри
E ( rшара
)
3ε 0
E ~ r.
Т.е., внутри шара имеем

48. Таким образом, имеем: поле объемного заряженного шара

qr
ρr
внутри шара (r R )
3
3
ε
4
πε
R
0
0
q
E
на поверхности шара ( r R )
2
4 πε 0 R
q
вне шара ( r R )
2
4 πε 0 r