Лабораторный практикум №14: Планирование объемов испытаний опытных образцов

1.

Кафедра Е3 «Средства поражения и боеприпасы»
Дисциплина:
«Эксплуатация и испытания боеприпасов, систем
артиллерийского, ракетного и бомбового
вооружения»
Раздел 7. Оценка показателей надежности боеприпасов,
вооружения и военной техники
Лабораторный практикум № 14: Планирование объемов
испытаний опытных образцов
Автор: доцент кафедры, к.т.н.,
профессор АВН Алешин А.С.

2.

Учебные вопросы:
1. Метод планирования испытаний сложных дорогостоящих изделий
многократного действия.
1.1 Использование приближенного критерия значимости, основанного
на биноминальном законе распределения разности частот отказов.
1.2 Использование приближенного критерия значимости, основанного
на нормальном законе распределения разности частот отказов.
1. ПРИМЕРЫ.
Основная литература:
1.Испытания
ракетно-артиллерийского
вооружения
и
радиоэлектронных средств. Учебник ч.1 / под ред. В.В. Панова.
Издание Академии-1981. – 188 с.
2.Испытания ракетно-артиллерийского вооружения. Учебник ч.1 /
под ред. Филюстина А.Е. и др. МО РФ, 1998. – 296 с.
2

3.

3
1. Метод планирования испытаний сложных дорогостоящих изделий
В основу метода планирования сложных дорогостоящих изделий
многократного действия положен статистический анализ, основанный не на
количестве
рассматриваемых
образцов,
а
на
объеме циклов
функционирования.
При планировании испытаний можно использовать схему двойной
выборки, когда назначается определенный объем испытаний n1 , а затем в
зависимости от числа отказов
m1 принимается одно из следующих
решений:
- закончить испытания, если m1 n1 и принять изделие с заданным
уровнем надежности;
m1 n2
- закончить испытания, если
и принять изделие на
доработку, так как принятая конструкция не обеспечивает требования по
надежности.

4.

4
1. Метод планирования испытаний сложных дорогостоящих изделий
С целью сокращения объема испытаний необходимо использовать
всю
полученную
информацию
и
по
возможности
объединить
статистические результаты. Объединение выборок следует производить на
основе критериев значимости, если последние принадлежат к одной
генеральной совокупности.
Для обеспечения требуемого уровня надежности по результатам
испытаний двух выборок необходимо выполнение равенства
m1 m 2
,
n1
n2
где m1 - число отказов на первом этапе (в первой выборке);
m 2 - число отказов на втором этапе (во второй выборке);
n1 - число испытаний на первом этапе (в первой выборке);
n2 - число испытаний на втором этапе (во второй выборке).
(1)

5.

5
1. Метод планирования испытаний сложных дорогостоящих изделий
Достаточным условием окончания испытаний и принятия изделия с
заданным требованием надежности по двум выборкам является
выполнение неравенства
m1 m2
qдоп ,
n1 n2
(2)
qдоп
где
- допустимая вероятность отказа изделия за один цикл
функционирования.

6.

6
1. Метод планирования испытаний сложных дорогостоящих изделий
В практике статистического контроля качества и надежности
сложных дорогостоящих изделий с целью сокращения времени на
отработку, объем второй выборки назначается по полученному числу
отказов в первой выборке, причем объем испытаний назначается из
соблюдения условия появления не более одного отказа во второй выборке,
т.е. выполнения равенства (1) в виде
m1 1
.
n1 n2
В случае отсутствия или появления только одного отказа во второй
выборке испытания заканчиваются, и изделие принимается с требуемым
уровнем надежности. При числе отказов на втором этапе испытаний (во
второй выборке)
испытания заканчиваются, и изделие
m2 2
дорабатывается, т.е. необходимо новое конструктивное решение по
отказавшему элементу или узлу.

7.

7
1. Метод планирования испытаний сложных дорогостоящих изделий
Планирование испытаний методом многократной выборки
необходимым условием подтверждения требуемого уровня надежности Pтр
является выполнение неравенства на каждом этапе испытаний (в каждой
выборке)
m1 m2
mk
.
n1 n2
nk
Испытания заканчиваются, если выполняется неравенством
m1 m2 mk
qтр ,
n1 n2 nk
где
qдоп qтр 1 Ртр .

8.

8
1. Метод планирования испытаний сложных дорогостоящих изделий
k этапов испытаний окажется, что
m1 m2 mk
qтр ,
n1 n2 nk
то проводится доработка и назначается дополнительный ( k 1) -й этап
Если по результатам
испытаний
Для сокращения объема испытаний при статистическом контроле
качества методом многократной выборки, объем последующей выборки
следует назначать таким образом, чтобы выполнялось необходимое и
достаточное условие приемки:
- необходимое условие:
m1 1
m2
1
mk
1
;
, ,
; (3)
n1 n2
n1 n2 n3
n1 n2 nk nk 1

9.

9
1. Метод планирования испытаний сложных дорогостоящих изделий
- достаточное условие:
m1 1
m2 1
mk 1 1
qтр ;
qтр , ,
qтр ,
n1 n2
n1 n2 n3
n1 n2 nk
Таким образом , в случае появления незапланированных отказов в
mk 1 объединять выборки нельзя, а необходимо
k -й выборке
назначить дополнительную выборку nk 1 с соблюдением условия (3).
Объединение выборок можно проводить с помощью критерия
значимости изменения частот. Этот критерий основан на использовании
критической области для разности между двумя частотами, которая
симметрична относительно нуля.
Рассмотрим данный критерий для биноминального закона
распределения (рис.1).

10.

10
1. Метод планирования испытаний сложных дорогостоящих изделий
Оказывается, что точка А соответствует моменту начала
изменения частоты отказов. Требуется проверить значимость расхождения
между частотами отказов в совокупностях двух групп данных, делящихся
точкой А.
Рис.1 Статистический критерий значимости:
m – число отказов; n – число циклов функционирования

11.

11
1.1 Использование приближенного критерия значимости, основанного
на биноминальном законе распределения разности частот отказов
Объединение выборок можно проводить с помощью критерия
значимости изменения частот. Этот критерий основан на использовании
критической области для разности между двумя частотами, которая
симметрична относительно нуля. Данный критерий рассматривается для
биноминального закона распределения.
Требуется проверить значимость расхождения между частотами
отказов в совокупности двух групп данных.
Пусть в первой совокупности имеется m1 отказ в n1 циклах
испытаний , а во второй совокупности m 2 отказа n2 циклах испытаний и
циклах функционирования. Обозначить частоту отказов в первой группе
через h1 m1 / n1 , в во второй группе - h2 m 2 / n2 .

12.

12
Проверка производится вычислением вероятностью P ( h , h )
1
2
расхождением равного или большего, чем h h по выражению
1
n1
2
m m r
r
C
C
n n
1
P ( h1 , h2 )
1
r m1
C
2
2
m1 m 2
n1 n2
,
(4)
n1 !
число сочетаний из n1 испытаний по r отказам;
n
r!( n1 r )!
где C r
1
C
m1 m 2 r
n2
n2 !
( m1 m2 r )!( n2 m1 m2 r )!
число сочетаний из
n2 испытаний по ( m m r ) отказам;
( n1 n2 )!
m m
Cn n
число сочетаний
( m1 m2 )!( n1 n2 m1 m2 )!
1
1
2
2
1 2
из ( n1 n2 ) испытаний по ( m1 m2 ) отказам.

13.

13
Недостатком представленного выше критерия является, то что он
может быть применен при малом объеме испытаний и, соответственно,
незначительном числе отказов. Несмотря на этот недостаток, статистический
критерий значимости изменения частот отказов для двух групп данных
широко применяют при оценке эффективности доработок изделий с низким
уровнем надежности.
Особенностью сложных изделий многоразового функционирования
является то, что эти изделия, в основном работают в цикличном режиме,
заданные высокие показатели надежности подтверждаются, как правило,
большим числом испытаний, при которых возможно и большее число отказов.
Рассмотренный критерий значимости для оценки эффективности
доработок
высоконадежных
изделий
ограничен
в
практическом
использовании .из-за громоздких вычислений. Поэтому чаще применяют
приближенный критерий значимости, основанный на нормальном
распределении.

14.

14
ПРИМЕР 1.
Пусть по результатам испытаний грузоподъемности самоходного
артиллерийского орудия в первой совокупности испытаний было
зафиксировано 12 отказов ( m1 12 ) при 300 циклах испытаний ( n1 300 ) ,
после чего провели доработку механизма управления и повторили испытания
в объеме 220 циклов нагружения ( n2 220 ) , при этом зафиксировано два
отказа ( m1 2).
Оценить эффективность доработки при уровне значимости меньше
0,05 и найти вероятность безотказной работы за один цикл нагружения.

15.

15
РЕШЕНИЕ:
Для определения
формулой (4)
эффективности
доработки
воспользуемся
300
12
2
C
C
300 220
P ( h1 , h2 ) r 12 12 2
C 300 220
0,026.
Полученный результат показывает, что проведенная доработка с
уровнем значимости меньше заданного 0,05 эффективна, так как
P ( h1 , h2 ) 0,026.
Следовательно, объединять совокупности двух
рекомендуется, а оценивать надежность нужно
совокупности:
m2
2
ˆ
P 1
1
0,99.
n2
220
групп данных не
по данным второй

16.

16
1.2 Использование приближенного критерия значимости, основанного
на нормальном законе распределения разности частот отказов
Рассмотрим приближенный критерий значимости, основанный на
нормальном законе распределения разности частот отказов.
Суть метода оценки эффективности доработок состоит в
следующем. Предположим, что вероятность отказа изделия до доработки
равна q1, а после доработки - q2 . До доработки было проведено n1
испытаний и при этом зафиксировано m1 отказов, а после доработки
соответственно проведено n2 испытаний и зарегистрировано m 2 отказов.
Следовательно, в первой совокупности частота отказов h1 m1 / n1 q1 ,
а во втором - h2 m 2 / n2 q2 . Задача состоит в том, чтобы проверить
равенство двух вероятностей q1 и q2 .

17.

17
1.2 Использование приближенного критерия значимости, основанного
на нормальном законе распределения разности частот отказов
Примем, что частота появления отказов распределена нормально,
поэтому разность частот также распределена нормально со средним
значением, равным нулю
M h1 h2 0
1 1
и дисперсией D h1 h2 q(1 q )
,
n1 n2
m1 m2
q h
.
где
n1 n2

18.

18
1.2 Использование приближенного критерия значимости, основанного
на нормальном законе распределения разности частот отказов
Таким образом, нормированная величина
U1
h1 h2
1 1
h(1 h)
n1 n2
будет распределена нормально с параметрами 0 и 1: M h1 h2 0 ,
D h1 h2 1.

19.

19
1.2 Использование приближенного критерия значимости, основанного
на нормальном законе распределения разности частот отказов
Если принять поправку на непрерывность, то при уровне значимости
критическая область для проверки гипотезы q1 q2 при односторонней
альтернативе q1 q2 принимает вид:
1
1
h1
h2
2n1
2n2
U 1 ,
1 1
h(1 h)
n1 n2
где U 1 квантиль нормального распределения, берется из таблиц.

20.

20
1.2 Использование приближенного критерия значимости, основанного
на нормальном законе распределения разности частот отказов
В случае двусторонней альтернативы, когда
q1 q2 , вместо
квантиля U 1 используется квантиль U 1 / 2 . Нормированную квантиль
можно представить в виде уравнения
U2
2 arcsin h1 2 arcsin h2
1 1
n1 n2
.
В этом случае U 2 распределена нормально с параметрами
и
M h1 h2 0
D h1 h2 1.

21.

21
1.2 Использование приближенного критерия значимости, основанного
на нормальном законе распределения разности частот отказов
В критической области распределение описывается неравенством
1
1
2 arcsin h1
2 arcsin h2
2n1
2n2
U 1
1 1
n1 n2

22.

22
1.2 Использование приближенного критерия значимости, основанного
на нормальном законе распределения разности частот отказов
Для лучшего приближения величин U 1 и U 2 найдем их среднее
значение и используем это значение при нахождении вероятности
расхождения двух групп данных. Последовательность вычисления U 1 и
U 2 удобнее представить в виде таблицы (табл. 1).
Для вычисления arcsin h
можно использовать значения sin x,
приведенные в таблицах (статистических таблицах). Вероятность
расхождения двух групп данных P ( h1 , h2 ) 2 ( U ),
где U квантиль нормального распределения выбирают из таблиц.

23.

23
1.2 Использование приближенного критерия значимости, основанного
на нормальном законе распределения разности частот отказов
Если окажется, что вероятность P ( h1 , h2 ) 0,05...0,1
или меньше
(равна) другому заданному уровню значимости, то расхождение следует
считать существенным. В этом случае объединять совокупность n1 и n2
нельзя.
Если вероятность расхождения двух групп данных P ( h1 , h2 ) 0,05...0,1
или больше любого другого заданного уровня значимости, то можно считать,
что выборки
n1 и n2 принадлежат одной совокупности, т.е. их можно
объединять в общую совокупность.

24.

24
ПРИМЕР 2.
На первом этапе испытаний до доработки изделия был
зафиксирован m1 отказ ( m1 10 ) при n1 циклах испытаний ( n1 100 ) ,
после чего была проведена доработка изделия. На втором этапе испытаний
того же изделия было зафиксировано m2 отказов ( m 2 2) при n2 циклах
испытаний ( n2 100 ).
Определить эффективность доработки изделия при
заданном уровне значимости P ( h1 , h2 ) 0,1. Оценить надежность изделия
по результатам испытаний.

25.

25
РЕШЕНИЕ:
Для нахождения вероятности расхождения двух групп данных
приближенным методом воспользуемся табл. 1:
1 m2
1
m1
n1 2n1 n2 2n2
U1
m1 m2 1 1
m1 m2
1
n1 n2 n1 n2
n1 n2
1 2
1
10
100 2 100 100 2 100
2,38;
10 2 1
1
10 2
1
100
100
100
100
100
100

26.

26
РЕШЕНИЕ:
Для нахождения вероятности расхождения двух групп данных
приближенным методом воспользуемся табл. 1:
m1
1
m2
1
2 arcsin
2 arcsin
n1 2n1
n2 2n2
U2
1 1
n1 n2
10
1
2
1
2 arcsin
2 arcsin
100 2 100
100 2 100 2,7;
1
1
100 100

27.

27
РЕШЕНИЕ:
Для нахождения вероятности расхождения двух групп данных
приближенным методом воспользуемся табл. 1:
1
1
U U1 U 2 ( 2,38 2,7) 2,54;
2
2
P ( h1 , h2 ) 2 ( U ) 2 ( 2,54) 2 1 ( 2,54)
2 1 0,994 0,012
Полученное значение вероятности расхождения двух групп данных
P ( h1 , h2 ) 0,012 свидетельствует о том, что при заданном уровне
значимости P ( h1 , h2 ) 0,1 выборки объединять в одну совокупность нельзя,
т.е. проведенная доработка оказалась эффективной. Оценку надежности в
этом случае необходимо проводить по второй выборке
m2
2
ˆ
P 1
1
0,98.
n2
100

28.

Табл. 1
Форма таблицы для определения вероятности
расхождения двух групп данных
n1
n2
n1 + n2
U1
m1
h1
m1
n1
1
n1
h1 h1
1
2n1
y1 2 arcsin h1
m2
h2
m2
n2
1
n2
h2 h2
1
2n2
y2 2 arcsin h2
m1 + m2
m m2
h 1
n1 n2
h1 h2
1 1
h 1 h
n1 n2
1
1
n1 n 2
U2
y1 y 2
h1 h2
y1 y 2
1
1
n1 n 2
P h1 , h2 2 U
U
1
U 1 U 2
2

29.

Список учебной литературы
Авторы
Название
Основная учебная литература
Выходные данные