Показательная функция. Методы решения показательных уравнений

1.

Показательная функция.
«Решение
показательных
уравнений»

2.

Функцию вида
х
у а , а 0, а 1
называют показательной
функцией

3.

Основные свойства
а>1
0<а<1
а>1
0<а<1
D(f)=(-∞; +∞)
D(f)=(-∞; +∞)
Е(f)=(0; +∞)
Е(f)=(0; +∞)
Возрастает
Убывает
Непрерывна
Непрерывна
Ограничена снизу
Ограничена снизу
Выпукла вниз
Выпукла вниз
Дифференцируема
Дифференцируема

4.

Какие из перечисленных ниже
функций являются показательными
1) y = 2x;
2) y = x2 ;
3) y =(-3)x;
4) y =( 2 )x;
5) y = x;
6) y =(x - 2)3;
7) y = x;
8) y = 3-x.

5.

Какие из перечисленных показательных
функций являются возрастающими:
1)y = 5x;
2) y = (0,5)x;
3) y =( 2 )x;
4) y = 10x;
5) y = x;
6) y= (⅔)x;
7) y =(14 cos( /3))-x.

6.

На каком из рисунков изображен график
функции:
у
А
у
Б
В
у
1
0
х
у
Г
Д
1
0
1) у=
х
,
0
х
0
у
Е
0
1
2) у=3х,
х
1
х
у
0
х

7.

На рисунке изображены графики показательных
функций. Соотнесите график функции с формулой.
1)
2)
у 2 1
х
у 2
х 1
3)
4)
у 2 1
х
у 2
х 1

8.

Назовите функцию, возрастающую (убывающую)
на множестве действительных чисел. Соотнесите
график с соответствующей формулой.
а)
б)
у ( 3 )
х
у (0,3)
х

9.

Укажите множество значений функции.
а) (5;
а )(5; ) б)(0; ) в)( ; ) г )(7; )

10.

Проверь себя
12
10
8
у=(1/2)х
у=3*х+10
6
4
2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6

11.

10
8
6
4
у=3х
у=2х+5
2
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-2
-4
-6
1
2
3

12.

Проверим правильность построения
графиков
у
у
у = 0,5х-1
1
0
-1
х
1
0
у = 3х-4
4
х

13.

f (x)
g (x)
Уравнения
вида
a
=
a
(где а >0,
Показательные уравнения
а ≠ 1) и уравнения, сводящиеся к этому виду
называются показательными.
Способы решения
показательных
уравнений
Простейшие показате
льные уравнения:
a
f (x)
=b
Уравнения
(a f (x)= 1).
приводимые к
квадратным.
Уравнения вида
a
f (x)
=a
g(x)
.
Функционально –
графический

14.

1. Простейшие
показательные уравнения
2 x -1 1024
Решить
уравнения
x
1
10
Решение
2 , x 1 10, x 11 .
2. 2 x -3 2
1.11
4 x 5
Ответ : x
Решение x log 5 .
4 к. 2 x 0
Решение нет корней, т.
Ответ : x log 5
x
Ответ : нет корней 4
2 -3
3. 2 x -1 1024
Решение 2 x 1 210 , x 1 10, x 11 .
Ответ : x 11
Решение нет корней, т.к. 2 x 0
Ответ : нет корней

15.

Решите уравнения ( устно):
2 2 х =64
5 х =25
х = 5
х=2
3 9 х =81
7 х-2 =49
х=4
4 х =1
х = 0
5,7 х-3 = 1
х = 3
х = 1,5
5 х =7 х
х=0
3,4 х+2 =4,3 х+2
х = -2

16.

2. Метод приведения к одному
основанию a f (x) = a g (x)
2 =3
30,5x > 0
(2/3) 0,5x = 1
0,5х = 0
х=0
Ответ: 0
0,5x
0,5x
4х+1 + 4х = 320
4х . 4 + 4х = 320
4х(4 + 1) = 320
4х = 64
4х = 4 3
х=3
Ответ: 3.

17.

2. Метод приведения к одному
основанию
Решить уравнение
2 x2 6x 2,5 512
Решение
512 2 256 2 2 128 2 2 2 64 2 2 2 2 32 29
2 x2 6x 2,5 29
9
2 x2 6x 2,5 2 2
x 2 6x 2,5 9
2
x 2 6x 7 0
D 36 28 64
x 6 8 7
1 2
x 6 8 1
2 2
Ответ : x 7, x 1
1
2

18.

Уравнения приводимые к квадратным
9 х– 26 3х – 27 = 0,
х
2
(3х) – 26 3 – 27 = 0,
х
Пусть 3 = t, t> 0, тогда:
t2– 26 t– 27 = 0,
а+с=b
t1 = - 1 не имеет смысла, т.к. t> 0.
t2= 27 Переходим к переменной х:
х
3 х= 27,
3
3=3,
х = 3.
Ответ: 3

19.

4
sinx
+2
1+sinx
-8=0
22sinx+2∙2sinx-8=0, 2sinx =t, t>0.
t²+2t-8=0, t1=-4, t2=2.
t1=-4 не удовлетворяет условию t>0.
Вернемся к переменной х, получаем
sinx
2 n .
2 =2, sinx=1, х=
2
Ответ: 2 2 n.

20.

3. Способ подстановки
Решить уравнение
3 5 2x 1 2 5 x 1 0,2
Решение. Перепишем уравнение иначе :
3 (5 x )2 2 5 x 0,2
5
5
Обозначим 5 x t 0, тогда
3 t 2 2 t 1 , т.е. 3 t 2 2t 1 0 .
5
5
5
Отсюда t 1, t 1 (не подходит).
1
2
3
Итак, 5 x 1; 5 x 50 , x 0.
Ответ : x 0

21.

4. Метод почленного деления
Решить уравнение
6 4 x 13 6 x 6 9 x 0
Решение. Уравнение имеет вид
6 2 2x 13 2 x 3 x 6 32x 0.
Разделим обе части уравнения на 2 2x 4 x 0, получаем
x
2x
x
x
9
3
3
6
6 - 13 x 6 x 0 , т.е. 6 13 6 0.
2
2
4
4
x
3
Обозначим t 0. Имеем
2
6 t 2 13t 6 0 t 3 , t 2 .
1 2 2 3
x
x
3
3
3
Получаем два уравнения и 2 .
2
2
2
3
Находим, что x 1, x 1.
1
2
Ответ : x 1, x 1
1
2

22.

5. Способ группировки
Решить уравнение
5 2x 4 x 1 4 x 5 2x 1
Решение
5 2x 5 2x 1 4 x 1 4 x 0
5 2x (1 5 1 ) 4 x (4 1) 0
4
5 2x 5
4x
5
4 25 x 5
4x
5
4 4x
25
25 x
x
4 4
25
25
x 1
Ответ : x 1

23.

(3 -81)∙√1-х=0
х²
Решение:
Произведение двух выражений равно нулю, если
хотя бы один из множителей равен нулю, а
другой при этом не теряет смысла.
1) 3х²-81=0, 3х²=34, х²=4, х=2 или х=-2.При х=2
подкоренное выражение отрицательно,
значит, число 2 не является корнем исходного
уравнения.
2) √1-х=0 при х=1.Это число является корнем
исходного уравнения, так как выражение 3х²81имеет смысл при любом х.
Ответ: -2; 1.

24.

Решение уравнения 16 3 ?
х
Y
16
у 16
х
У=3
1
X

25.

Методы решения
показательных уравнений
1. Простейшие показательные
уравнения.
2. Метод приведения к одному
основанию.
3. Способ подстановки.
4. Метод почленного деления.
5. Способ группировки.

26.

Цели урока:
углубление понимания сущности различных
методов решения показательных уравнений для
получения новых знаний;
установление внутрипредметных связей;
воспитание у учащихся культуры мышления;
формирование умений осуществлять самоконтроль
и взаимоконтроль
формирование умений анализировать,
устанавливать связи и отношения;
формирование умений строить логическую цепочку
рассуждений;
формирование умений проводить обобщение,
переносить знания в новую ситуацию;
формирование навыков коллективной и
индивидуальной работы;