Центр описанной около треугольника окружности

1.

Подготовила:
Нелидина М.А.

2.

Опорные знания
1.Центр описанной около треугольника окружности
лежит на пересечении
серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника.
2. Точка пересечения высот –
ортоцентр.
3.Соединяя основания высот треугольника получимортотреугольник.

3.

Опорные знания
4.Теорема синусов :«Стороны треугольника
пропорциональны синусам противолежащих
углов.»
5.Вписанный угол, опирающийся на
полуокружность, - прямой.

4.

Педальный треугольник
1.Рассмотрим произвольный треугольник АВС.
2.Выберим любую точку Р внутри нашего
треугольника.
3.Опустим перпендикуляры из точки Р на стороны
АВ,ВС,АС.
4.Получаем РС1, РВ1, РА1
5.Треугольник С1В1А1 вершинами которого являются
основания этих перпендикуляров, называется
Педальным треугольником треугольника АВС
для «педальной» точки Р.

5.

Педальный треугольник
А
В1
С1
Р
С
А1
В

6.

Эвристическая беседа
1.Рассмотрим произвольный треугольник АВС и углы
АС1Р и АВ1Р.Чему они равняются?
2.На какой отрезок опираются данные углы?
3.Исходя из этого, какую теорему вы вспоминаете?
4.Чем является АР?
5.Можно ли описать около треугольника АВ1С 1
окружность?
6.Будут лежать точки Р,В 1,С1 на этой окружности?

7.

Эвристическая беседа
7.Рассмотрим произвольный треугольник АВ1С1 .
Какая существует зависимость между углами и
сторонами этого треугольника?
8.Как записать данную теорему?
а
b
c
2R
SinA SinB SinC
9.Применим данную теорему к треугольнику АВ1С1.

8.

Эвристическая беседа
10.Можно ли записать подобные равенства для
треугольников А1С1В и А1В1С?

9.

Эвристическая беседа
11.Так как мы незнаем чему равны синусы углов, то
выразим их из основной теоремы синусов:

10.

Эвристическая беседа
12.Следовательно получаем:

11.

Эвристическая беседа
13. Если нам даны следующие условия:
1.Дан произвольный треугольник.
2.Расстояние от педальной точки до вершин
треугольника равны x,y,z.
Теорема: « Если расстояние от педальной точки
до вершин треугольника равны x,y,z, то длины
сторон педального треугольника равны.»

12.

План.
1.РС1В 1 с диаметром АР .
2.В1С 1 =АР
С1А1 =
А1В1 =

13.

Доказательство.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС
треугольник АВ1С1.
АС1В= АВ1Р=90
По теореме об угле опирающемся на диаметр
окружности следует, что Р,С1,В 1 окружности .
Где -описанная окружность около треугольника
АС1В1.

14.

Педальный треугольник
А
В1
С1
Р
С
А1
В

15.

Педальный треугольник
А
В1
С1
Р
С
А1
В

16.

Педальный треугольник
А
В1
С1
Р
С
А1
В