Свойства прямоугольных треугольников. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

1.

Решение задач
Свойства прямоугольных треугольников.
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными
прямыми

2.

Повторим теорию
1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300
равен половине гипотенузы (справедливо и обратное утверждение).
3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон
4. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол (верно
обратно)
5. Самостоятельно вспомните теорему о сумме углов треугольника, понятия
«гипотенуза» и «катет»

3.

Задача 1: Чему равно расстояние от точки М до прямой АВ?
Решение:
• 1. Расстоянием от точки до прямой называют
длину перпендикуляра, проведённого из этой
точки на данную прямую. Т.к. МВ⊥АМ по
условию (см. рисунок), то искомое расстояние
– это длина отрезка МВ.
• 2. Рассмотрим треугольник АВМ: МВ – катет,
который лежит напротив 300 . Значит он равен
половине гипотенузы АМ. Поэтому МВ=АВ:2,
МВ=26:2=13
Ответ: расстояние от точки М до прямой АВ
равно 13.

4.

Задача 2: Чему равно расстояние от точки Р до прямой АВ?
Решение:
1. Расстоянием от точки до прямой называют
длину перпендикуляра, проведённого из этой
точки на данную прямую. Т.к. РВ⊥АВ по
условию (см. рисунок), то искомое расстояние
– это длина отрезка РВ.
2. В прямоугольном треугольнике РАВ найдём
острый угол А.
Он равен 90 – 60 = 30 градусов
3. РВ – катет, лежащий против угла в 30
градусов, поэтому равен половине АР
РВ=АР:2=46:2=23
Ответ: расстояние равно 23

5.

Задача 3:
Чему равно расстояние от точки М до прямой АВ, если АВ=15?
Решение:
1. Т.к. МВ⊥АВ по условию (см. рисунок), то
искомое расстояние – это длина отрезка МВ.
2. В прямоугольном треугольнике МАВ найдём
острый угол А.
Он равен 90 – 45 = 45 градусов.
Значит, угол М равен углу А, т.е. АВМ –
равнобедренный треугольник с основанием АМ
3. МВ=АВ=15 (боковые стороны)
Ответ: расстояние равно 15

6.

Задача 4: Чему равно расстояние от точки В до прямой МН, если
угол ВМН прямой, ВМ параллельна АН?
Решение:
1. Т.к. по условию угол ВМН прямой, т.е. МВ⊥МН, то
искомое расстояние – это длина отрезка МВ.
2. По условию ВМ и АН параллельны (проведите на чертеже
отрезок АН), ВН – секущая, значит угол АВН равен углу МНВ
как накрест лежащие, т.е. по 45 градусов.
3. В треугольнике ВМН углы при вершинах Н и В равны
(докажите самостоятельно). Из равенства этих углов делаем
вывод, что ВМН – равнобедренный треугольник, т.е. ВМ=МН
3. По условию ВМ и АН параллельны, поэтому АВМН –
прямоугольник. Таким образом МН=АВ=32
4. Итак, ВМ=МН, а МН=32, поэтому ВМ=32
Ответ: расстояние равно 32

7.

Задача 5: Чему равно расстояние от точки В до прямой МК, если
угол ВМК равен 30 0, ВО=2?
Решение:
1. Расстоянием является перпендикуляр. Построим
ВК⊥МК(постройте на чертеже отрезок КВ), поэтому
искомое расстояние – это длина отрезка ВК.
2. Угол МКВ по построению прямой, значит МВК –
прямоугольный треугольник.
3. В треугольнике МВК угол М равен 30 0 . КВ – катет,
противолежащий 30 0 . Таким образом КВ равен
половине гипотенузы МВ.
4. МВ – диаметр окружности, он равен двум радиусам
ВО, т.е. МВ=2ВО=2*2=4
5. КВ=МВ:2=4:2=2
Ответ: расстояние равно 2

8.

Задача 6: Чему равно расстояние от точки С до прямой АВ, если
угол В равен 60 0, АС=16?
Решение:
1. По условию СD⊥АВ, поэтому искомое расстояние –
это длина отрезка CD.
2. Угол В по условию 60 0 , значит угол А в
прямоугольном треугольнике АВС равен 30 0
3. Этот же угол А принадлежит и треугольнику АСD.
Он так же прямоугольный по условию. В нём CD –
катет, противолежащий 30 0 . Таким образом CD равен
половине гипотенузы АС.
4. CD=АС:2=16:2=8
Ответ: расстояние равно 8

9.

Задача 7: Используя данные рисунка найдите угол САК
Решение:
1. Рассмотрим треугольник МВС, по условию он
прямоугольный. Заметим, что катет МВ равен половине
гипотенузы МС. А это значит, что противолежащий ему
угол ВСМ равен 30 0
2. На чертеже показано, что углы ВСМ и МСА равны.
Значит угол ВСА равен 2*30= 60 0
3. В треугольнике АВС угол В=90 0 , угол С= 60 0
Значит на угол А приходится 180-(90+60)= 30 0
4. Искомый угол САК смежный с углом А, угол
САК=180-30=150
Ответ: 150 0

10.

Задачи для самостоятельного решения

11.

Задачи для самостоятельного решения

12.

Проверьте результат
Задача 1: угол Д и угол В по 60 градусов
АС – высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию,
поэтому АС – медиана.. Следовательно, ВС=ДС=3,5. Отсюда ВД=7см.
Получаем, что в треугольнике все стороны по 7см, значит он
равносторонний. На каждый угол приходится 180:3=60 градусов
Задача 2: СК=10см.
Угол СВА=180-150=30 (смежный). В треугольнике АВС угол А=90-30=60.
АК – биссектриса (по чертежу). Угол САК=60:2=30. Поэтому СК – катет
против 30 градусов. СК=АК:2=20:2=10 см

13.

Задание на пятницу, 17.04
• Выполнить тест (ссылку отправлю В ПЯТНИЦУ).
• Тест содержит задачи, аналогичные тем, что мы с вами сегодня разобрали.
Время теста не ограничено, можно будет сделать две попытки. В журнал
выставлю лучшую из двух оценок.
• Напоминаю, каждую вашу попытку при выполнении теста я вижу, а также
вижу в какое время вы выполнили работу и сколько на неё затратили времени.
• ВНИМАТЕЛЬНО читайте условия в задачах теста, не торопитесь!
• ЖЕЛАЮ УДАЧИ!!!