Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

1.

Преподаватель математики
ОГАПОУ «Белгородский
техникум промышленности
и сферы услуг»
Веревкина А.А.

2.

Цели урока:
• Ввести понятия угла между
векторами и скалярного произведения
векторов.
• Рассмотреть формулу
скалярного произведения в координатах.
• Показать применение скалярного произведения
векторов при решении задач.

3.

Решим задачу:
• Дано: О 0;0;0 А 4;0;0 В 0;6;0
у
АОВ - прямоугольный
• Найти:
1) К х; у; z - центр окружности,
В
описанный около АОВ.
2) АК R
К
1
О 1
1
А
х
z

4.

Решение:
у
Центр окружности К – середина
гипотенузы АВ. Найдем координаты К.
0 0
0 6
4 0
0
3 z
х
2 у
2
2
2
К
К (2; 3; 0)
R АК
4 2
Ответ:
2
0 3 0 0 13
2;3;0 ;
В
2
2
13
х
А
1
О 1
1
z

5.

Вспомним:
• Какие векторы называются равными?
а
a b, если a b ; а b
b
• Как найти длину вектора по координатам его
начала и конца?
В
АВ
х
хА уВ у А
2
2
А
• Какие векторы называются коллинеарными?
а b или а b
а
b
В
x1 x2
а b y1 y 2
z z
2
1

6.

Устно:
1) Дано: А 3; 2;4 В 4;3;2
Ответ:
Найти: АВ
30
2) Дано: А 2; 3;1 В 4; 5;0 С 5;0; 4 D 7; 2; 3
Равны ли векторы АВ и CD ?
АВ 2; 2; 1
CD 2; 2;1
Ответ: Нет, т.к.равные векторы имеют равные координаты.
3) Дано:
Коллинеарны ли векторы АВ и CD ?
А 1; 3;4
CD 2; 2;1
АВ
8
;
4
;
6
В 5;1; 2
С 2;0;1
D 4; 2;2
Ответ: Нет

7.

Угол между векторами.
b
ОА а ОВ b
ab
а
Если а b, то
0
А
α
О
аb 0
В
Если а b то ab 180
0
Если а b то ab 90
0

8.

Сопоставьте углы между векторами
и их градусной мерой.
00
а
450
О
c и f
d и a
a и f
a и b
b
300
450
d
1800с
f
1150
1350

9.

Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
а
b
a b a b cos

10.

Вспомним планиметрию…
a b a b cos
b , то
cos 90 0
0
a b 0
Если
a
Если
a b
Если
а b
Если
a b , то a b a a a a a a
, то
, то
cos180 1 a b a b
0
cos 0 1 a b a b
0
2
2

11.

Пример применения скалярного
произведение векторов в физике.
F
α
S
Если F S , то
A F S cos
Скалярное произведение векторов.

12.

Формула скалярного произведения
векторов в пространстве.
а x1 ; y1 ; z1
b x2 ; y2 ; z2
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2
Скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.

13.

Решение задач.
Дан куб АВСDA1B1C1D1.
Найдите угол между векторами:
B1
В1 В и В1С
450
б) ВС и АС
450
а)
C
1
A1
D1
B
в) DA
и B1 D1
1350
A
C
D

14.

Решение задач.
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1 ВС1
1 способ:
ВА1С1 правильный
ВА1 ВС1 а 2
ВА ВС 60
C1
D1
A1
B1
1
0
1
ВА1 ВС1 а 2 а 2 cos60 а
0
Ответ: а2
D
2
A
C
B

15.

Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1 ВС1
2 способ:
ВА1 ВА АА1
C1
D1
ВС1 ВС СС1
A1
B1
ВА1 ВС1 ВА АА1 ВС СС1
ВА ВС ВА СС1 АА1 ВС
D
АА1 СС1
0 0 0 а а cos0 a
0
2
A
Ответ: а2
C
B

16.

Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1 ВС1
3 способ: Введем прямоугольную
систему координат.
A1
ВА1 а;0; а
z
ВС1 0; а; а
ВА1 ВС1 а 0 0 а а а а
Ответ: а2
х
C1
D1
B1
у
2
D
A
C
B

17.

Решаем по группам:
Вычислите угол
Вычислите угол
между вектором а
между вектором а
и координатным
и координатным
вектором i. i 1;0;0 вектором k.
а 2;2;1
а 2;1;2
k 0;0;1
Ответ: аrccos(2/3)
+
Ответ: аrccos(1/3)
Дополнительная задача:
Докажите, что четырехугольник ABCD –
квадрат, если вершины имеют координаты
A (-3;5;6), B (1;-5;7), C (8;-3;-1), D (4;7;-2).

18.

Дома: вывести формулу
cos
x1 x2 y1 y2 z1 z 2
x y z x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
+
М.И. Башмаков «Математика. Задачник»,
стр. 115, № 5.51.