Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

1.

Угол между векторами.
Скалярное произведение
векторов

2.

Цели урока:
• Ввести понятия угла между векторами и
скалярного произведения векторов.
• Рассмотреть формулу скалярного
произведения в координатах.
• Показать применение скалярного произведения
векторов при решении задач.

3.

Повторение:
• Какие векторы называются равными?
а
a b, если a b ; а b
b
• Как найти длину вектора по координатам его
начала и конца?
В
АВ х В х А у В у А
2
2
А
• Какие векторы называются коллинеарными?
а b или а b
а
b
x1 x2
а b y1 y 2
z z
2
1

4.

Повторение. (Устно)
Векторы в пространстве.
А 3; 2;4 В 4;3;2
1) Дано:
Найти: АВ
30
2) Дано: А 2; 3;1 В 4; 5;0 С 5;0; 4 D 7; 2; 3
Равны ли векторы АВ и CD ?
Нет, т.к.равные векторы имеют равные
координаты.
АВ 2; 2; 1
CD 2; 2;1
3) Дано: ? Коллинеарны ли векторы АВ и CD ?
А 1; 3;4
В 9;1; 2
С 2;0;1
D 4; 2;2
АВ 8;4; 6 CD 2; 2;1
Нет

5.

Угол между векторами.
b
ОА а
ab
а
Если а b, то
аb 0
0
Если а b то ab 180
А
α
О
ОВ b
В
Если а b то ab 90
0
0

6.

Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
а
b
a b a b cos

7.

Вспомним планиметрию…
a b a b cos
Если a b , то
cos 90 0 a b 0
0
0
a
b
Если
, то cos 180 1 a b a b
Если а
b , то
cos 0 1 a b a b
0
2
Если a b , то a b a a a a a a
Скалярное произведение a a называется
скалярным квадратом вектора
2

8.

Пример применения скалярного
произведение векторов в физике.
F
α
S
Если F S , то
A F S cos
Скалярное произведение векторов.

9.

Формула скалярного произведения
векторов в пространстве.
а x1 ; y1 ; z1
b x2 ; y 2 ; z 2
a b x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
Скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.

10.

Косинус угла между ненулевыми
векторами
а x1 ; y1 ; z1
cos
b x2 ; y 2 ; z 2
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x y z x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

11.

Решение задач.
Дан куб АВСDA1B1C1D1.
Найдите угол между векторами:
а)
В1 В и В1С
б) ВС
в) DA
и АС
и B1 D1
B1
450
A1
450
1350
C1
D1
B
A
C
D

12.

№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а
Найти: ВА1 ВС1
1 способ:
ВА1С1 правильный
ВА1 ВС1 а 2
ВА ВС 60
A1
B1
1
C1
D1
0
1
ВА1 ВС1 а 2 а 2 cos 60 а
0
Ответ: а2
D
2
A
C
B

13.

№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а
Найти: ВА1 ВС1
2 способ:
ВА1 ВА АА1
A1
ВА1 ВС1 ?
ВС1 ВС СС1
C1
D1
B1
ВА1 ВС1 ВА АА1 ВС СС1
ВА ВС ВА СС1 АА1 ВС
АА1 СС1
0 0 0 а а cos 0 a
0
D
2
A
C
B
Ответ: а2

14.

№ 443 (г)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а
z
Найти: ВА1 ВС1
3 способ: Введем прямоугольную
систему координат.
A1
ВА1 а;0; а
B1
ВС 1 0; а; а
ВА1 ВС 1 а 0 0 а а а а
Ответ: а2
х
C1
D1
у
2
D
A
C
B

15.

Скалярное произведение векторов.
а
a b a b cos
а x1 ; y1 ; z1 b x2 ; y 2 ; z 2
b
cos
a b x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x y z x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

16.

Домашнее задание
П.46, 47.
№ 441 (д-з), № 444, 446 (а)