Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

1.

Государственное профессиональное образовательное учреждение
«НОВОАЗОВСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»
УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРОВ
ПОДГОТОВИЛА: учитель математики
техникума
ФЕСЕНКО ОЛЬГА ВАСИЛЬЕВНА

2. Цели урока:

• Ввести понятия угла между
векторами и скалярного
произведения векторов.
• Рассмотреть формулу
скалярного произведения в координатах.
• Показать применение скалярного произведения
векторов при решении задач.

3. План работы

1Подготовительный этап - повторение
ранее изученного материала (слайды4-6);
2. Угол между векторами (слайды7-8);
3. Скалярное произведение векторов
(слайды9 -11);
4. Частные случаи (слайд 12);
5. Скалярное произведение векторов в
координатной форме(слайды13- 15);
6. Закрепление изученного материала
(слайды 14-17);
7. Домашнее задание (слайд 18)

4. Повторение:

• Какие векторы называются равными?
а
a b, если a b ; а b
b
• Как найти длину вектора по координатам его
начала и конца?
В
АВ
х
хА уВ у А
2
2
А
• Какие векторы называются коллинеарными?
а b или а b
а
b
В
x1 x2
а b y1 y 2
z z
2
1

5. Повторение. (Устно)

Векторы в пространстве.
А 3; 2;4 В 4;3;2
1) Дано:
Найти: АВ
30
А 2; 3;1 В 4; 5;0 С 5;0; 4 D 7; 2; 3
2) Дано:
Равны ли векторы АВ и CD ?
Нет, т.к.равные векторы имеют равные
координаты.
АВ 2; 2; 1
CD 2; 2;1
3) Дано: ? Коллинеарны ли векторы АВ и CD ?
А 1; 3;4
В 5;1; 2
С 2;0;1
D 4; 2;2
АВ 8;4; 6 CD 2; 2;1
Нет

6. Угол между векторами.

b
ОА а ОВ b
ab
а
Если а b, то
0
А
α
О
аb 0
В
Если а b то ab 180
0
Если а b то ab 90
0

7. Сопоставьте углы между векторами и их градусной мерой.

00
а
450
О
c и f
d и a
a и f
a и b
b
300
450
d
1800с
f
1150
1350

8. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением
двух векторов называется
произведение их длин
на косинус угла между
ними.
а
b
a b a b cos

9. Пример применения скалярного произведение векторов в физике.

F
α
S
Если F S , то
A F S cos
Скалярное произведение векторов.

10. Скаляр – лат. scale – шкала.

Ввел в 1845 г.
У. ГАМИЛЬТОН,
английский
математик.

11.

Вспомним планиметрию…
a b a b cos
b , то
cos 90 0
0
a b 0
Если
a
Если
a b
Если
а b
Если
a b , то a b a a a a a a
Скалярное произведение a a называется
, то
, то
cos180 1 a b a b
0
cos 0 1 a b a b
0
скалярным квадратом вектора
2
2

12. Формула скалярного произведения векторов в пространстве.

а x1 ; y1 ; z1
b x2 ; y2 ; z2
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2
Скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений соответствующих
координат этих векторов.

13. Докажем формулу скалярного произведения в координатах для случая, когда векторы неколлинеарны.

Для доказательства потребуется вспомнить
теорему косинусов.
В
АВ 2 ОА2 ОВ2 2 ОА ОВ cos
b
О
OA a
α
а
А
OB b
AB b a
Ваше доказательство:

14. Решение задач.

Дан куб АВСDA1B1C1D1.
Найдите угол между векторами:
B1
В1 В и В1С
450
б) ВС и АС
450
а)
C
1
A1
D1
B
в) DA
и B1 D1
1350
A
C
D

15. № 443 (г)

Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1 ВС1
1 способ:
ВА1С1 правильный
ВА1 ВС1 а 2
ВА ВС 60
C1
D1
A1
B1
1
0
1
ВА1 ВС1 а 2 а 2 cos60 а
0
Ответ: а2
D
2
A
C
B

16. № 443 (г)

Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1 ВС1
2 способ:
ВА1 ВА АА1
ВС1 ВС СС1
C1
D1
ВА1 ВС1 ?
A1
B1
ВА1 ВС1 ВА АА1 ВС СС1
ВА ВС ВА СС1 АА1 ВС
D
АА1 СС1
0 0 0 а а cos0 a
0
2
A
C
B
Ответ: а2

17. № 443 (г)

Дано: куб АВСDA1B1C1D1;
АВ = а; О1 – центр грани А1В1С1D1
Найти: ВА1 ВС1
3 способ: Введем прямоугольную
систему координат.
A1
ВА1 а;0; а
Ответ: а2
х
C1
D1
ВС1 0; а; а
ВА1 ВС1 а 0 0 а а а а
z
B1
у
2
D
A
C
B

18. Дома, следуя рекомендациям в учебнике, 1)вывести формулу cos α для двух ненулевых векторов в пространстве, зная их координаты.

cos
x1 x2 y1 y2 z1 z 2
x y z x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
«Геометрия 10-11», § 2, п.51.
2) Решить № 443 (а; б)
2
2
2
2