Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. 11 класс

1.

Угол между векторами.
Скалярное произведение
векторов.
11 класс.

2. Повторяем теорию:

• Как находят координаты вектора, если известны
координаты его начала и конца?
АВ хВ х А ; уВ у А ; z B z A
• Как находят координаты середины отрезка?
х А хВ
;
2
• Как находят длину вектора?
у А уВ
;
2
z A zB
2
а х2 у2 z 2
• Как находят расстояние между точками?
АВ
х
х А у В у А z B z A
2
В
2
• Как вы понимаете выражение «угол между
векторами»?
2

3.

Найти углы между векторами
Два вектора называются
перпендикулярными,
если угол между ними равен 90 .

4.

xa ya za
Условие коллинеарности векторов:
xb yb zb
Какие векторы называются перпендикулярными?
Два вектора называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90 .
Условие перпендикулярности векторов:
xa xb ya yb za zb 0

5. Повторяем теорию:

• Что называется скалярным произведением векторов?
a b a b cos xa xb ya yb za zb
• Чему равно скалярное произведение перпендикулярных
векторов? 0
• Чему равен скалярный квадрат вектора?
2
a
a
2
xa2 ya2 za2
• Свойства скалярного произведения?
а 0
2
ab ba
a b c ac bc
k ab k a b

6. Косинус угла между векторами

cos
а 2; 2;0
с 3;0; 3
a b
a b
xa xb ya yb za zb
xa2 ya2 za2 xb2 yb2 zb2
2 3 2 0 0 3
cos
2
2
2
2
2 0
3 0
2
2
2
3
6 0 0
6
4 4 0 9 0 9
8 18
6
6
6 1
4 2 2 9 4 3 12 2
1
Ответ : 60
cos 60
2

7.

СА х А хС ; у А уС ; А С
Дано : А 1;3;0
СА 1 1;3 2;0 1 0;1;1
В 2;3; 1 , С 1;2; 1
Найти : СА; СВ
cos
cos СА; СВ
СВ хВ хС ; уВ уС ; В С
a b
a b
СВ 2 1;3 2; 1 1 1;1;0
xa xb ya yb za zb
xa2 ya2 za2 xb2 yb2 zb2
0 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 0
2
2
2
2
2
2
1
1
2 2 2
1
cos СА; СВ СА;СВ 60
2
Ответ : СА; СВ 60

8. Вычисление углов между прямыми и плоскостями

• Углом между прямой и плоскостью,
пересекающей
эту
прямую
и
не
перпендикулярную к ней, называют угол
между прямой и её проекцией на
плоскость.

9.

Если
, то проекцией
=A, ( ,
Если || ,
( , ) = 0
на
является точка А
) = 90
- проекция
на , то
,
.

10. Направляющий вектор прямой.

а
• Ненулевой вектор называется
направляющим вектором
прямой, если он лежит на
самой прямой, либо на прямой,
параллельной ей.

11. Визуальный разбор задач из учебника (п.48).

№1.
Найти
угол
между
двумя
прямыми
(пересекающимися или скрещивающимися), если
известны координаты направляющих векторов этих
прямых.
q x ; y ; z
p x ; y ;z
а)
р
1
1
1
б)
2
2
2
р
q
р
р
θ
q
q
q
θ
φ=θ
φ = 1800 - θ

12. Ответ:

cos
/ x1 x2 y1 y2 z1 z 2 /
x y z x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

13. Визуальный разбор задач из учебника (п.48).

№2. Найти угол между прямой и плоскостью, если
известны координаты направляющего вектора
прямой и координаты ненулевого вектора,
перпендикулярного к плоскости..
p x1; y1; z1
а)
б)
п x2 ; y2 ; z2
п
θ
п
а
θ
р
φ
р
φ
α
α
а
φ

14. № 464 (а)

Дано: А 3; 2;4 В 4; 1;2
№
С 6; 3;2 D 7; 3;1
Найти: угол между прямыми АВ и CD.
464 (а)
Ваши предложения…
1. Найдем координаты векторов АВ 1;1; 2 и
CD 1;0; 1
2. Воспользуемся формулой:
cos
cos
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x y z x y z
2
1
1 1 1 0 2 1
2
1
2
1
12 12 2 12 0 2 1
2
3
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
6 2
12 2 3 2
φ = 300

15.

Дано: АВСDA1B1C1D1 - куб
точка М принадлежит АА1
АМ : МА1 = 3 : 1; N – середина ВС
Вычислить косинус угла между прям. MN и DD1
1. Введем систему координат.
2. Рассмотрим DD1 и МN.
3. Пусть АА1= 4( почему), то
4. Найдем координаты
векторов DD1 и MN.
5. По формуле найдем cosφ.
cos
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x12 y12 z12 x22 y 22 z 22
Ответ:
3
29

16.

Дано: АВСDA1B1C1D1 – прямоугольный
параллелепипед; DA= 1; DC= 2; DD1= 3
Найти угол между прямыми СВ1 и D1B
Ваши предложения…
z
1. Введем систему координат Dxyz
2. Рассмотрим направляющие
прямых D1B и CB1.
CВ1 1;0;3 D1 B 1;2; 3
3. По формуле найдем cosφ.
4
cos
35
47 28
0
'
у
х

17.

Дано: АВСDA1B1C1D1 - прямоугольный парал-д
АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
1 способ:
1. Введем систему координат Bxyz
2. Пусть АА1= 2, тогда АВ = ВС = 1.
3. Определим координаты точек
В, С, D и D1: В 0;0;0 , С 1;0;0
D 1;1;0 , D1 1;1;2
4. Координаты векторов ВD и
CD1 : ВD 1;1;0 CD1 0;1;2
5. Находим косинус угла между
1
прямыми: cos
у
10
z
х

18.

Дано: АВСDA1B1C1D1 - прямоугольный парал-д
АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
2 способ:
1. Т.к. СD1|| ВА1, то углы
между ВD и ВА1; ВD и СD1 –
равны.
2. В ΔВDА1: ВА1 = √5, А1D = √5
3. ΔВDА: по теореме Пифагора
BD AD 2 AB 2
BD 2
4. По теореме косинусов:
A1 D 2 A1 B 2 BD2 2 A1 B BD cos
1
cos
у
10
z
х