Функции нескольких переменных

1.

1/17
Функции нескольких переменных
Максимум и минимум ФНП
Условные экстремумы
Наибольшее и наименьшее значение
функции в замкнутой области
Касательная плоскость и нормаль к
поверхности

2.

2/17
Максимумы и минимумы ФНП
Функция z = f(x; y) имеет
минимум
максимум
f ( x0 ; y 0 )
f ( x; y )
в точке M0(x0 ; y0 ) если
для всех точек (x; y), достаточно близких к точке (x0 ; y0 ) и отличных
от нее.
Максимум и минимум функции называется экстремумами функции
Теорема 1
Необходимые условия экстремума.
Если функция z = f(x; y) достигает экстремума при x = x0; y = y0, то
каждая частная производная первого порядка от z или обращается в
нуль при этих значениях аргументов, или не существует:
z
0 (или )
x ( x0 ;y 0 )
z
0 (или )
y ( x0 ;y 0 )

3.

3/17
Максимумы и минимумы ФНП
Эта теорема не является достаточной для исследования вопроса об
экстремальных значениях функции.
Например, функция z x 3 4 x y 2 имеет частные производные:
которые обращаются в нуль в двух точках: М1 и М2
Точка М1 – точка максимума,
однако точка М2 не является точкой экстремума.
М1
М2
Точки в которых частные производные
равны нулю или не существуют
называются критическими точками
функции.
Для исследования функции в
критических точках установим
достаточные условия экстремума:

4.

4/17
Максимумы и минимумы ФНП
Теорема 2
Достаточные условия экстремума.
Пусть в некоторой области, содержащей критическую точку
М0(x0; y0) функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные
производные до третьего порядка включительно. Обозначим:
2z
A
2
x ( x ;y )
0
0
2z
B
x y ( x ;y )
0
0
2z
C
2
y ( x ;y )
0
0
Тогда справедливы утверждения: функция имеет
AC B 2 0
AC B 2 0
и
и
A 0
A 0
Максимум
Минимум
AC B 2 0
Нет экстремума
AC B 2 0
? (необходимы
дополнительные исследования)

5.

5/17
Максимумы и минимумы ФНП
Исследовать на максимум и минимум функцию z x y 3 xy
Найдем критические точки, пользуясь необходимыми условиями
экстремума:
3
3
z
3 x 2 3y 0 2
2
2
y
x
y
x
x
y
0
x
4
2
3
z
x
(
x
1) 0
x
x
0
2
3 y 3 x 0 y x 0
y
x 0
x 1 Таким образом, функция имеет две
или
критические точки: М1(0; 0), М2(1; 1)
y
0
y
1
Найдем производные второго порядка:
2z
6x
2
x
2z
3
x y
2z
6y
2
y

6.

6/17
Максимумы и минимумы ФНП
Исследуем характер критической точки М1(0; 0) :
2z
B
3
x y ( 0;0 )
z
A 2 6 x ( 0;0 ) 0
x ( 0;0 )
2
2z
C 2 6 y ( 0; 0 ) 0
y ( 0;0 )
AC B 2 0 0 ( 3)2 9
0
точка М1 не является точкой экстремума
Исследуем характер критической точки М2(1; 1) :
A
z
6 x (1;1) 6
2
x (1;1)
2
2z
B
3
x y (1;1)
AC B 2 6 6 ( 3)2 27
0
и
A 0 М2 - точка минимума.
zmin 13 13 3 1 1 1
2z
C 2 6 y (1;1) 6
y (1;1)

7.

7/17
Максимумы и минимумы ФНП
М2
М1

8.

8/17
Условные экстремумы
Условный экстремум находится, когда переменные х и у,
входящие в функцию z = f( x, y), не являются независимыми, т.е.
существует некоторое соотношение (х, у) = 0, которое называется
уравнением связи.
Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая
может быть выражена через нее из уравнения связи.
Необходимые условия условного экстремума.
Для того, чтобы найти критические точки условного экстремума,
необходимо составить вспомогательную функцию (так называемую
функцию Лагранжа):
F = f(x, y) + (x, y)
и исследовать ее с помощью необходимых условий обычного
экстремума.

9.

9/17
Условные экстремумы
Найдем частные производные от функции Лагранжа по переменным
x, y, и составим систему:
F
x 0
F
0
y
F
0
f
x x 0
f
0
y
y
( x, y ) 0
Решив эту систему, получим критические точки, которые исследуем
затем с помощью достаточных условий экстремума.

10.

10/17
Условные экстремумы
Найти критические точки условного экстремума функции f(x, y) = xy
xy,
если уравнение связи: (2x
2 x + 3y
3y –
5)= 0
Составим функцию Лагранжа:
F f ( x, y ) ( x.y )
Найдем частные производные
F
y 2
x
Составим систему:
y 2 0
x 3 0
2 x 3 y 5 0
F
x 3
y
F
2x 3y 5
.
5
;
12
Функция имеет критическую точку
x
5 5
;
4 6
5
;
4
y
5
;
6

11.

11/17
Наибольшее и наименьшее значения
функции в замкнутой области
Пусть функция z = f( x, y) определена и непрерывна в некоторой
замкнутой области D.
Тогда она достигает в некоторых точках области D своего
наибольшего – М и наименьшего – m значений (глобальный
экстремум)
Эти значения достигаются или внутри области D или на ее границе.
Правило нахождения глобального экстремума
1) Найти все критические точки и выбрать те, которые лежат
внутри области D.
2) Найти критические точки на границе области (критические точки
условного экстремума).
3) Найти значения функции в найденных критических точках и в
граничных точках области (если они есть) и выбрать среди них
наибольшее (М) и наименьшее (m).

12.

12/17
Наибольшее и наименьшее значения
функции в замкнутой области
Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой
области:
z 5 x 2 3 xy y 2 4
D:
x 1, y 1, x y 1
y
С
1) Найдем критические точки функции:
z
10 x 3 y 0
x 0
x
.
z
y 0
3 x 2y 0
y
Критическая точка
2
х = -1
М1
-1
А
M1(0; 0) D
1 х+у=1
1 2
0
-1
x
В
у = -1
2) Исследуем границы области:
а)
x 1 z 5( 1)2 3( 1)y y 2 4
y [ 1; 2]
z 9 3y y 2
задача сводится исследованию функции z(y) на
[-1; 2]

13.

13/17
Наибольшее и наименьшее значения
функции в замкнутой области
2
z 9 3y y 3 2y 0 y 1.5
Критическая точка M2 ( 1; 1.5) D
б)
y 1 z 5 x 2 3 x( 1) ( 1)2 4
y
С
2
М1
М3 -1 0
1 М4
А М -1
x [ 1; 2]
z 5x 2 3x 5
2
2
z 5x 3x 5 10x 3 0
x 0.3
Критическая точка M3 ( 0.3; 1) D
в)
1 2
x
В
.
2
2
y 1 x z 5 x 3 x(1 x ) (1 x ) 4
z 5 x 2 3 x 3 x 2 1 2x x 2 4 z 9 x 2 5 x 5
5
2
x [ 1; 2]
z 9x 5x 5 18x 5 0 x
18
5
13
Критическая точка M (
; ) D
4
18 18

14.

14/17
Наибольшее и наименьшее значения
функции в замкнутой области
y
3) Найдем значения функции z в точках
М1, М3 , М4 , А, В, С:
Наименьшее
значение
z(M1) z(0;0) 4
z(M3 ) z( 0.3; 1) 4.55
5 13
z(M 4 ) z( ; ) 4.3
18 18
С
2
М1
М3 -1 0
А
.
z( A) z( 1; 1) 7
z(B ) z(2; 1) 31
z(C ) z( 1; 2) 19
1 М4
Наибольшее
значение
М2 -1
1 2
В
x

15.

15/17
Касательная плоскость и нормаль к
поверхности
Пусть функция z = f( x, y) дифференцируема в точке (x0; y0)
области D.
Возьмем на поверхности с уравнением z = f( x, y) точку М0(x0; y0; z0)
z
М0
0
Проведем через точку М0 линию L1,
лежащую на поверхности.
Проведем касательную к линии L1 в
точке М0
Проведем через точку М0 еще одну
y линию L , лежащую на поверхности и
2
касательную к этой линии.
x
Прямые L1 и L2 определяют плоскость, которая называется
касательной плоскостью к поверхности в точке М0 .
Прямая, проходящая через точку М0, перпендикулярно касательной
плоскости называется нормалью к поверхности .

16.

16/17
Касательная плоскость и нормаль к
поверхности
z =x,f(y,x,z)=0
y) то уравнение
Если поверхность задана уравнением F(
касательной плоскости и нормали к поверхности в точке
М0(x0; y0; z0) запишутся в виде:
Касательная плоскость:
z F
z F
F
z (zx0 x0 ) ( x x(0y) y 0 ) ( y y(0z) z0 ) 0
x ( M0 )y ( M )
y ( M0 ) z ( M0 )
x ( M0 )
0
Нормаль:
x x x0x0
yy yy0 0
zz zz0 0
F z
F
1
F
z
x x( M(0M)0 )
z ( M0 )
y y( M( M) )
0 0

17.

17/17
Касательная плоскость и нормаль к
поверхности
Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
z x 2 y 2 в точке M0 ( 1 ; 2 ; 5 )
z
2x
2
x
( M0 )
z
2y
4
y
( M0 )
Уравнение касательной плоскости
z .
z
z z0
( x x 0)
( y y 0 ) 2x 4y z 5 0
x ( M 0 )
y ( M )
0
Уравнение нормали
x x 0 y y 0 z z0
z
z
1
x ( M 0 ) y ( M )
0