Виды показательных уравнений и способы их решения

1. ВИДЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ

2. Умные мысли

Мне приходится делить время между политикой и
уравнениями.
Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее.
Политика существует для данного момента, а
уравнения будут существовать вечно.

3. Считаем устно

1) Представить в виде степени:
3
6 ;
2
6
2
3
4
3 81;
0
3
2
2 16;
2
2
7 3 25
( )
5
49
7 1
( )
5

4. Решите уравнения

2x
3
3;
4
1 x
( ) 49;
7
5
x 1
0;
2
х 2
Корней
нет
Корней
нет
3 x
1;
х 3

5.

Вынесение
общего
множителя за
скобки
Метод
использования
однородности
Метод
логарифмировия
Методы
решения
ПУ
Метод
составления
отношений
Графический
метод
Метод введения
новой
переменной
Метод
уравнивания
показателей

6. Метод уравнивания показателей

1)5
125
х
2) 2
3)3
5)8
3 х 6
х 1
4 )5
1)5 5 , х 3
х
sin х
х
2
1
2 ,3 х 6 1, х 2
3
1
4)5sin х 51 , sin х 1,
5
х
8
7
3 х 6
3) Корней нет
3
5 х 8
6)11
2) 2
3
2
2 п, п Z
х
0
5)8 81 , х 1, х 1
6)115 х 8 110 ,5х 8 0, х 1,6

7. Вынесение общего множителя за скобки

3
x 2
x
x
3 72
3 (3 1) 72;
2
72
3 ;
8
x
3x 9;
3x 32;
x 2
Ответ: 2

8.

Вынесение общего множителя
за скобки
x
x 4
2 2 15
x 4
2 (2 1) 15;
15
x 4
2 ;
15
x 4
2 1;
2
4
x 4
2;
x 4
0
Ответ: 4

9.

Вынесение общего множителя
за скобки
312 x 1 96 x 1 27 4 x 1 813 x 1 2192
12 x 1
12 x 2
3
3
12 x 3
3
12 x 3
3
12 x 3
3
12 x 4
3
2192
(3 3 1 3 ) 2192;
2
1
7
(9 3 1 2187) 2192;
12 x 3
3
2192 2192;
12 x 3
3
1;
1
x
4
Ответ:0,25

10. Метод составления отношений

2 3
x 1
3
x 2
5
x 2
4 5
x 3
3x 2 (2 3 1) 5x 3(5 4);
5 3x 2 5x 3 32;
3x 4 5 x 4 ;
3 x 4
x 4 1;
5
3 x 4
3 0
( )
( )
5
5
x 4
Ответ: 4

11.

Метод составления отношений
5
2 x 1
x
2x
4 5 4
x 1
52 x 1(1 5) 22 x ( 22 1);
52 x 1 4 22 x 5;
5 2 x 1 5
( ) ;
2
2
2 x 1 1;
x 1
Ответ: 1

12.

Метод составления отношений
2
x 2 1
2
x2
3 3
x 2 1
x 2 1
2
x2 2
x 2 1
(1 2 ) 3 (1 3);
3
2 x 2 1
2 2
( )
( )
3
3
x 1 2;
2
x 3;
Ответ: 3

13.

1)
2
x
1
x
1
x 2
1
x
4 5 4 4 0
ОДЗ : x≠0
(4 ) 5 4 4 0;
1
x
Пусть 4 t, t 0.
t 5t 4 0;
2
D 25 16 9;
t1 4, t2 1.
Вернемся к
замене:
x1
4 4
1
4 x 1
1
x 1
1
0
x
2) 52 x 1 5 x 1 250
3)
9x
52( x 1) 5 3 5x 1 250; 32(x
2
2
1
1)
36 3x
3
2
3 0
x 2 3
9 4 3
3 0;
Пусть 5x 1 t, t 0.
1 2
t t 250 0;
125
Пусть 3x
2
1
t, t 0.
D 9;
t 2 4t 3 0;
t1 250 0,
D 16 12 4;
t2 125,
t1 3, t2 1.
Вернемся к
замене:
5
x 1
125;
5x 1 53;
x 1
решений _ нет
x 2;
Ответ: 1
Ответ: 2
Вернемся к
замене:
3x 1 3 x 2 1 1
2
2
x 1
3
1
x 1 0
2
x 0
x 0
x1 1
2
x 1 x 1
2
2
Ответ: 0,1,-1

14. Метод введения новой переменной

2
x
1
x
4 5 4 4 0
1
x 2
1
x
(4 ) 5 4 4 0;
1
x
Пусть 4 t, t 0.
t 2 5t 4 0;
D 25 16 9;
t1 4, t2 1.
ОДЗ : x≠0
Вернемся к
замене:
x1
4 4
1
4 x 1
1
x 1
1 0
x
x 1
решений _ нет
Ответ: 1

15. Метод введения новой переменной

52 x 1 5x 1 250
52( x 1) 5 3 5x 1 250;
Вернемся к
замене:
Пусть 5x 1 t, t 0.
5x 1 125;
1 2
t t 250 0;
125
5x 1 53;
t1 250 0,
t2 125,
x 2;
Ответ: 2

16.

Метод
введения новой переменной
9
x 2 1
36 3
2( x 2 1)
3
x 2 3
9 4 3
3 0
x 2 3
3 0;
Вернемся к
замене:
3x 1 3 x 2 1 1
2
2
x 1
3
1
x 1 0
2
2( x 2 1)
3
( x 2 1)
4 3
Пусть 3x
2
1
3 0;
t, t 0.
t 2 4t 3 0;
t1 3, t2 1.
x 0
x 0
x1 1
2
x 1 x 1
2
2
Ответ: 0,1,-1

17. Использование однородности

64 9 x 84 12 x 27 16 x 0
64 32 x 84 3x 4 x 27 42 x 0
Разделив обе части
уравнения на 4 2 x ,
получим:
3
3
64 ( )2 x 84 ( )x 27 0
4
4
3 x
(
) t, t 0.
Пусть
4
64t 84t 27 0;
2
t1
3
9
, t2 .
4
16
Вернемся к
замене:
3 x 3
( 4 ) 4
( 3 )x 9
4
16
x 1
x 2
Ответ: 1 или 2

18. Использование однородности

9
x 1
x
45 6 9 2
2x 2
0
32 x 2 45 3x 2x 9 22 x 2 0;
32 x 32 45 3x 2 x 9 22 x 22 0;
Разделив обе части
уравнения на 2 2 x ,
получим:
Пусть
3 x
( ) t, t 0.
2
9t 2 45t 36 0;
t 2 5t 4 0;
t1 1 0,
t1 4 0,
3 2x 2
3 x
( ) 3 45( ) 36 0
2
2
Ответ: нет
решения

19.

Использование однородности
2
x
1
x
10 25 4,25 50
1
x
t 2 4,25t 1 0;
ОДЗ : x≠0
2
x
2
x
2
x
2
x
5 2 5 4,25 5 2
Разделив обе части
2
уравнения на 5 x ,
получим:
2
x
2 1 4,25 2
1
x
1
x
Пусть 2 t, t 0.
2
x
t1 4, t 2
1
.
4
Вернемся к
замене:
1
x1
2
x
2 4
x 0,5
2 2
1
1
x 0,5
2 x 1
2 x 2 2
4
Ответ: 0,5 или -0,5

20.

Уравнение вида: A a2 x B ax b x Cb 2 x 0.
И решаются они с использованием однородности.
Все члены этого уравнения содержат степени с
разными основаниями, но показатели степеней в
крайних членах уравнения вдвое больше, чем показатели степеней среднего члена. Это уравнение
легко можно привести к виду уравнения на слайде
9, разделив его на b2 x 0 , получим квадратное
уравнение: A( a)2 x B ( a)x C 0.
b
b
С помощью подстановки ( a)x y, уравнение
b
2
принимает вид: Ay B y C 0,
который мы уже разобрали.

21.

Использование монотонности функции
3x 4 x 5 x
3x 4 x
( ) ( ) 1
5
5
Т.к функция
3x 4 x
f (x) ( ) ( )
5
5
является убывающей, то
горизонтальная прямая y=1
пересекает график функции
f не более, чем в одной
точке. Следовательно,
уравнение имеет не более
одного корня. Методом
перебора находим, что x=2
Ответ: 2
3x 1 5 x 1 34
Т.к функция
f (x)3x 1 5x 1
является возрастающей, то
горизонтальная прямая y=34
пересекает график функции
f не более, чем в одной
точке. Следовательно,
уравнение имеет не более
одного корня. Методом
перебора находим, что x=3
Ответ: 3