Приращение функции. Понятие производной

1.

Тема урока:
Приращение функции.
Понятие производной

2.

Основоположники дифференциального и
интегрального исчисления
Исаак Ньютон (1642-1727)-
английский физик, математик
и астроном
Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646-1716) – немецкий
философ , математик, физик

3.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ
В конце семнадцатого века великий
английский ученый Исаак Ньютон открыл
общий способ описания связи между
путем и скоростью движения.
Основными математическими
понятиями, выражающими эту связь,
являются производная и скорость. Честь
открытия основных законов
математического анализа также
принадлежит великому математику
Готфриду Вильгельму Лейбницу.

4.

Цитата Г.В. Лейбница
«Общее искусство знаков представляет
чудесное пособие, так оно разгружает
воображение… Следует заботиться о
том, чтобы обозначения были удобны
для открытий. Обозначения коротко
выражают и отображают сущность
вещей. Тогда поразительным образом
сокращается работа мысли.»

5.

Теория без практики мертва или бесплодна,
практика без теории невозможна или пагубна.
Для теории нужны знания,
для практики, сверх всего того, и умение
(А.Н. Крылов)
Алексей Николаевич Крылов- русский и советский математик,
механик и кораблестроитель

6.

Пусть дана функция у=f(х)
y
x
f ( x) f ( x0 x)
f
f ( x0 )
0
х0
x
х
x
∆х=хх0 –х –приращение
аргумента
Пусть
произвольная точка
в окрестности
Разность f(x)-f(x0) называется приращением функции
фиксированной точки х0
и обозначается f
Разность х-х0 называется
аргумента и обозначается
∆f = f(x)-f(x0) приращением
или
∆0)x -=x-x
0
х=х
0+ ∆ x
∆f =f(x0+ ∆x)-f(x
приращение
функции

7.

Пример 1:
Найти приращение аргумента и приращение
2
функции в точке х0, если
f ( x) x
x 1,9
x0 2
Решение:
x x x0 ;
x 1,9 2 0,1;
f f ( x) f ( x0 );
f f (1,9) f (2) 1,9 2 3,61 4 0,39
2
2
Ответ : x 0,1; f 0, 39

8.

Геометрический смысл приращения
y
функции
y=kх+b
В
f ( x) f ( x0 x)
f
f ( x0 )
0
А
х0
f
С
x
x
х
k tg
k tg
f
x
ABC - прямоугольный
x
BC
tg
AC
Прямая l , проходящая через
любые две точки графика функции,
-угловой коэффициент
называется секущей к графику
секущей к графику
функции.
функции

9.

№184(а )
1 2
f ( x) x ; x0 0; x 1
2
Решение :
tg
x x x0 ;
f f ( x) f ( x0 );
x 1 0 1;
1
k tg
2
f
;
x
1 2 1 2 1
f f (1) f (0) 1 0
2
2
2
0 острый
1
Ответ : tg ; острый
2

10.

Определение производной
Производной функции f в
точке называется число, к
которому стремится
разностное отношение
при
• Производная функции f в
точке х0 обозначается
f'(x0).

11.

Найти производные следующих функций, используя
определение производной.
1) f(x) = x2;
2) f(x) = x3;
3) f(x) = kx+b;
4) f(x) = c.

12.

Самостоятельная работа
Вариант 1
• № 178 (в)
• № 181 (в)
• № 192 (а)
• № 193 (в)
Вариант 2
• № 178 (г)
• № 181 (г)
• № 192 (в)
• № 193 (г)

13.

Проверка
Вариант 1
№ 178 (в)
№ 181 (в)
№ 192 (а)
№ 193 (в)
0,03
65 км/ч
16, -8
3
Вариант 2
№ 178 (г)
№ 181 (г)
№ 192 (в)
№ 193 (г)
0,205
57,5 км/ч
-2, - 4
5, -2

14.

Домашнее задание
№ 179 (а, в)
№ 187 (в)
№ 196 (б)