Производная. Геометрический смысл приращения функции. (10 класс)

1. Производная

10 класс

2. Геометрический смысл приращения функции

y
B
y
y
y0
BC y
tg
AC x
Итак,
y
х
A
С
0
Секущая
х0
х
х
y
tg k
x
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
х
y kx b

3. Касательная к графику функции

y
Прямая, проходящая
через точку ( х0 ;f ( х0 )), с
отрезком которой
практически сливается
график функции f при
значениях близких к х0 ,
называется касательной к
графику функции f в
точке ( х0;f ( х0)).
A
y0
0
х0
х

4. Геометрический смысл отношения при

y
x
Автоматический показ. Щелкните 1 раз.
y f (x)
y
Секущая
х 0
y
tg k
x
y
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
0
y kx b
х0
х
х
х
х
0
При
х стремится
0 угловой
коэффициен
секущей
угловому
Секущая
занять
положение т
касательной.
То к
есть,
касательная есть предельное положение секущей.
коэффициен ту касательной.

5.

Мгновенная скорость движения.
х
Vср.
t
Или, если х перемещение тела, а t промежуток времени ,
в течении которого выполнялось движение, то
х
средняя скорость движения на промежутке времени t.
t
Скорость, с которой движется тело в момент
времени t называется мгновенной скоростью
движения .
Если ∆t → 0 , то Vср. → V мгн.
Vмгн. = ∆х/∆t
при ∆t → 0.
.

6.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.
Производной функции f ( x) в точке х0 называется
f ( x)
число, к которому стремится отношение
при х 0.
x
Алгоритм нахождения производной :
1. С помощью формулы, задающей функцию f ,
находим ее приращение в точке х0 :
∆f = f ( х0 + ∆х ) - f ( х0 ) .
2. Находим выражение для разностного отношения
∆f / ∆х , которое затем преобразуем - упрощаем ,
сокращаем на ∆х и т. п.
3. Выясняем, к какому числу стремится отношение
∆f / ∆х , если считать, что ∆х стремится к 0.

7.

Если функция у = f (х) имеет производную в точке х , то ее
называют
дифференцируемой в точке х .
Она обозначается f ‘ (х) или у ‘ .
Нахождение производной данной функции f называется
дифференцированием .
Геометрический смысл производной :
Производная функции f в точке х выражает угловой коэффициент
касательной к графику функции у = f (х) в точке х
f ‘ (х) = tg α = к
Физический (механический) смысл производной :
Если s (t) - закон прямолинейного движения тела, то производная
выражает мгновенную скорость в момент времени t .
v=s'(t).

8.

Пример вычисления производной
Дано : f ( x) x 2 1.
Найдем f ( x) в точке х0 2, то есть f ( 2).
Решение
f ( x) f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x0 x) f ( 2 x) ( 2 x) 2 1
4 4 x x 2 1 5 4 x x 2
f ( x0 ) ( 2) 2 1 4 1 5
f ( x) 5 4 x x 2 5 4 x x 2
f ( x) 4 x x 2
4 x
x
x
Если x 0, то
f ( x)
4, то есть f ( x) 4.
x
Ответ : f ( x) 4.