Приращение функции и приращение аргумента

1. Приращение функции и приращение аргумента

1.Приращение функции и приращение
аргумента
2. Геометрический смысл приращения
аргумента и приращения функции

2. Приращение функции и приращение аргумента

y
y=f(x)
приращение аргумента:
∆х = х - х0
(1)
f(x)=f(x0+∆x)
Приращение функции :
∆f
∆f = f(x0 +∆x)-f(x0) (2)
f(x0)
∆f = f(x)-f(x0)
(3)
x
x0
∆x
x=x0+∆x Т.е.,Дана
значение
функция
функции
f(x)
изменилось
на величину
Первоначальное
Пусть
В окрестности
х0- между
значение
Расстояние
точками
Функция
f(х)
тоже
примет
f(x)-f(x
0)= f(x
фиксированная
х00 +∆x)возьмём
получило
точка,
х иаргумента
х0точки
обозначим
∆х.Оно
новое
значение:
0+∆x)в
f(x
0),точку
КОТОРАЯ
НАЗЫВАЕТСЯ
приращение
f(х
0)- значение
х приращением
∆х,функци
иf(xновое
называется
ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ И
значение
точке х0 и
х равно
равно х0+∆х
аргумента
ОБОЗНАЧАЕТСЯ ∆f
разности между х и х0:

3. прямая, проходящая через две точки графика, называется секущей

Геометрический смысл приращения аргумента и приращения
функции
прямая, проходящая через две точки графика, называется
секущей
f x
y
y = kx+b
k = tg
M
f x0 x
Определим положение
секущей
= MM0K
∆f
M0
f(x0)
К
o
x0
∆x
f ( xo x) f ( xo )
k tg
x
x
x
f
МК
tg MMOK =
=
x
МоК
Вывод: угловой коэффициент
секущей,
проходящей
через
Координаты
Выразим
=Где
MM
0K ,как точки М можно
kтангенс
угла,
tg
MM
0
K
Определим
Секущая-прямая.
Отметим
положение
на
графике
ОПРЕДЕЛИМ
точки
М0(х0; f(хдополнительные
0)) и М(х;f(х0+ х))
соответственные
рассматривать
как
Выполним
Через
точки
М
иуглы
Мна
0
который
прямая
Отметим
этот
угол
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
СМЫСЛ
через
приращение
секущей
Положение
функции
на
f(x)
прямой
точки
М0(х0;
равен
отношению
приращения
при
приращение
секущейточку
координат
построения:
через
Отметим
К точку
ии ИМ0
проведём
прямую
ПРИРАЩЕНИЯ
ФУНКЦИИ
образует
с
функции
и
приращение
функции
к приращению
координатной
плоскости
задаёт
плоскости
её
параллельных
точки
Мпрямую,
0 Отметим
прямых
проведём
рассмотрим
прямоугольный
ПРИРАЩЕНИЯ
АРГУМЕНТА
f(х
0
))
и
М(х;f(х
0 + х эти
положительным
запишем
определение:
аргумента:
аргумента
(записать)
приращения
параллельную
оси
ОХОХ
(почему?)
∆ММ
0Кkx+b
уравнение
y=
направлением
оси
))

4. Задача, приводимая к понятию «производная»

1.Касательная
2.Определение положения касательной

5. Прямая, проходящая через точку М0 (х0; f(х0)), с отрезком которой почти сливается график функции f(х),называют касательной к

графику в точке х0
f x
y
M0
f(x0)
0
x0
X

6. Задача: Определить положение касательной (tgφ)

y f x
Пусть дан график
у
М
f(x) =f(x0+∆x)
∆f
функции
f(х) и М,
Будем
перемещать
Отметим
точку
касательная,
точку
вдоль
ЧерезМ
точки
Мграфика,
и М0
координаты
которой
КА
чему
будет
стремиться
к
какому
углу
будет
проходящая
через
точку
приближая
её
к точке
проведём секущую,
рассмотрим
как
приращение
аргумента?
стремиться
угол
0 Соответственно
,которая
образует
М
0.
которая
с? сх
приращение
координат
При
этомобразует
координата
положительным
будет
меняться
осьюМОХ
угол
точки
0М будет
точки
направлением
положение
секущей
ММ0
стремиться
коси
х0 ОХ
угол φ
М0
f(x0)
φ
0
х
х0
Секущая, поворачиваясь вокруг точки М0,
приближается к положению касательной
Предельным положением секущей МоМ,
когда М неограниченно приближается к
Мо, является касательная
х =x0+∆x
∆x
x xo x 0
f x0 x f x0
lim
k tg lim tg x 0
x

7. Определение производной

1.Этапы определения углового
коэффициента касательной
2.Определение производной

8. Определение производной

При вычислении углового коэффициента касательной
нужно было выполнить следующие операции:
Найти приращение функции
Найти отношение приращения функции к
приращению аргумента
3. Вычислить, чему равен предел найденного
отношения при стремящимся к нулю приращению
аргумента
Найденное таким образом число называется скоростью
изменения функции f в точке х0 или производной
функции f в точке х0
1.
2.

9. Определение производной

Производной функции f в точке х0 называется
предел отношения приращения функции к
приращению аргумента при последнем
стремящимся к нулю:
f ( x0 x) f ( x0 )
f x lim
x O
x

10.

Операция нахождения производной
называется:
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ