Перпендикулярність площин. 10 клас

1.

Тема уроку:
1

2.

Яким може бути взаємне розміщення
двох площин в просторі?
α
α
α║β
с
β
β
α∩β=с
2

3.

Означення та ознаку перпендикулярних
прямих.
Означення та ознаку
перпендикулярності прямої і площини.
3

4. Означення перпендикулярних прямих

4

5. Ознака перпендикулярності прямих в просторі

Якщо дві прямі, які перетинаються, відповідно
паралельні двом перпендикулярним прямим, то
вони теж перпендикулярні.
а1
а1║а, b1║ b, а ┴ b,
то
а1 ┴ b1
β
О1
b1
O
а
α
b
5

6. Означення перпендикулярних прямої та площини

a
Пряма, яка перетинає
площину, називається
перпендикулярною до цієї
площини, якщо вона
перпендикулярна до
довільної прямої, що лежить
на цій площині і проходить
через їхню точку перетину.
хn
х3
х2
х1
О
α
6

7. Ознака перпендикулярності прямої і площини

Якщо пряма
перпендикулярна до двох
прямих, які лежать у
площині та перетинаються,
то вона перпендикулярна
до даної площини.
с
О
b
a
α
7

8.

Тема уроку:
Завдання
уроку:
Дати означення перпендикулярних площин.
Сформулювати і довести ознаку
перпендикулярності площин.
Навчитися застосовувати вивчені
твердження до розв’язування задач.
8

9. Означення перпендикулярних площин

Дві площини, що перетинаються, називаються
перпендикулярними, якщо третя площина,
перпендикулярна до прямої перетину цих площин,
перетинає їх по перпендикулярних прямих.
Якщо α∩β=с,
∩α=а, ∩β=b,
с ┴ і а ┴ b, то
α ┴β
b
β
с
α
а
9

10. Ознака перпендикулярності площин

Якщо одна з двох площин проходить
через пряму, перпендикулярну до другої
площини, то ці площини перпендикулярні.
Дано: α, а ┴ α;
а∩α=О; площина β
проходить через а.
Довести: β ┴ α.
β
α
а
О
b
10

11. Ознака перпендикулярності площин

Дано: α, а ┴ α; а∩α=О;
площина β проходить через а.
Довести: β ┴ α.
Доведення
Побудуємо довільну площину β
через пряму а і деяку точку К
поза нею.
α
О – спільна точка площин α
β
К
с
а
О b
і β, тому α∩β = b, О b.
Проведемо на площині α деяку пряму с ┴ b (на площині така
пряма єдина).
Оскільки а ┴ α і а∩α=О, то а ┴ с (О с, О b, О а ). Отже,
с ┴ а, с ┴ b. Проведемо площину через прямі а і с, то
(оскільки дві її прямі перпендикулярні до b).
Тоді за означенням, β ┴ α.
┴b
11

12. Властивості перпендикулярних площин

Якщо дві площини взаємно перпендикулярні, то
будь-яка пряма, що лежить в одній з них і
перпендикулярна до їхньої лінії, перпендикулярна
до другої площини.
β
Дано: а ┴ b, α∩β=с,
а1 α і а1┴с, с∩а1=А.
Довести: а1 ┴ β
b
b1
А
а α
с
а1
12

13. Властивості перпендикулярних площин

Якщо дві площини взаємно перпендикулярні та з
деякої точки однієї з них опущено перпендикуляр
на другу, то цей перпендикуляр лежить у першій
площині.
Дано: α ┴ β, α∩β=с,
А β, В α,
АВ ┴ α.
β
b
А
а α
Довести: АВ β
с
В
13

14. Опорна задача

З точок P і Q, які лежать на двох взаємно перпендикулярних площинах, проведено перпендикуляри PH і QC на
пряму перетину площин α і β. Знайдіть довжину відрізка
PQ, якщо PH=6 см, QC =7 см, HC=6 см.
А як застосувати ознаку
Дано: α ┴ β, α∩β=с, РН┴ с, Н с,
β
Q
перпендикулярності
площин
QC
┴ с, С с; PH=6 см, QC =7 см,
HC=6
для см.
знаходження довжини
відрізка, кінці
H
Знайти: PQ. Розв’язання
с
якого лежать на перпендикулярнихC
Оскільки α ┴ β, РН α , РН┴с, то
прямих
?
PH
┴ β , звідси PH┴HQ. Тоді ∆PHQ –
α
P
прямокутний.
На площині β ∆QСH – прямокутний, оскільки QC┴с, то QC┴СH.
З ∆QСH: HQ2= QС2 + HС2=49+36=85.
З ∆РHQ: РQ2= РН2 + HQ2=36 +85 =121.
Враховуючи, що РQ>0, РQ =11 см.
14
Відповідь. 11см

15. Підсумки уроку Контрольні запитання:

• Подивіться, чи є на вашу думку, перпендикулярні
площини в класній кімнаті?
• Перерізом куба площиною, перпендикулярною
до його грані є…
квадрат.
• Дано куб ABCDA1B1C1D1 (див. мал. 5.39 ст.169).
Площина ВDD1 ┴ … до площини
C1CD;
C1B1B;
C1CB;
C1D1B1.
15

16. Cписок використаних джерел

uk.wikipedia.org›wiki/Перпендикулярність
Геометрія (академічний рівень, 1-143 стр.), видавництво “Генеза”,
Автор: О.Я. Біляніна, Г.І. Білянін, В.О.Швець, 2010, стор. 256
n
16