Паралельність прямих і площин у просторі (10 клас)

1. Паралельність прямих і площин у просторі

Смілянська загальноосвітня школи І – ІІІ ступенів № 11
Смілянської міської ради Черкаської області
Паралельність
прямих і площин у
просторі
Геометрія, 10 клас
Профільний рівень
Учитель Русецька Т.В.

2. Основні теми розділу

• Мимобіжні та паралельні прямі
• Паралельність прямої та площини
• Паралельність площин
• Паралельне проектування та його
властивості
• Зображення фігур у стереометрії
• Методи побудови перерізів
многогранників

3. Мета: вчити

• Формулювати означення паралельних і мимобіжних
прямих, паралельних прямої і площини, паралельних
площин; ознаки паралельності прямих і площин;
властивості паралельності прямих і площин.
• Класифікувати взаємне розміщення прямих, прямих і
площин, площин у просторі.
• Знаходити і зображати паралельні прямі, прямі та
площини на малюнках, будувати зображення фігур.
• Розв’язувати задачі на застосування властивостей та
ознак паралельності прямих і площин.
• Застосовувати метод слідів та проекцій для побудови
перерізів многогранників.

4.

Взаємне розміщення двох
прямих у просторі
Дві прямі
Лежать в одній
площині
перетинаються
паралельні
Не лежать в одній
площині
мимобіжні

5. перетинаються паралельні мимобіжні

6. Пряма і площина у просторі можуть:

а
α
а
α
Мати одну
спільну точку
Безліч
спільних точок
а
α
Пряма
паралельна
до площини

7. Паралельність прямої і площини

• Пряма і площина називаються паралельними, якщо
вони не мають спільних точок.
• Якщо пряма а паралельна площині α, пишуть а||α.
а
α

8. Ознака паралельності прямої і площини

• Якщо пряма , яка не лежить у площині, паралельна
якій-небудь прямій площини, то вона паралельна і
самій площині.
β
b
a
α
b||α

9. Властивість паралельності прямої і площини

Якщо площина проходить через пряму, паралельну
другій площині , і перетинає цю площину, то пряма їх
перетину паралельна даній прямій.
β
b
α
a
a||b

10.

Мають одну спільну точку
Не мають спільної
точки
Мають безліч
спільних точок
β
β
β
Перетинаються по
прямій
║β
Накладання площин і β

11.

1. a
C
a
b
a1
C1
b1
β
a ∩ b=C
2. a1
b1
∩ ∩
b
∩ ∩
Якщо дві прямі, що перетинаються і лежать в одній площині,
паралельні двом прямим другої площини, то такі площини
паралельні.
β
β
a1 ∩ b1 = C1
3. a ║ а1
b ║ b1
=> ║ β

12.

Властивості паралельних площин
1.Площина, яка проходить
через прямі АВ і СD,
перетинає паралельні площини
по паралельних прямих.
AC||BD
A
α
C
2.Відрізки паралельних прямих,
що відтинаються паралельними
площинами, рівні.
AB=CD
β
B
D

13.

Метод паралельного проектування
Нехай дано довільну
площину , довільну
пряму l і точку А.
Тоді образ точки А
можна
побудувати
провівши
через
неї
пряму,
паралельну
прямій l і яка перетинає
площину
.
Точкою
перетину
прямої
з
площиною є точка А1.
l
А
L
А1

14.

Зображення
Оригінал
B
K
C
A
M
D
B1
A1
K1
M1
C1
D1

15.

B
C
D
А
Оригінал
B1
C1
D1
А1
Зображення

16.

Оригінал
B
K
Зображення
C
B1
A
M
D
A1
K1
M1
AB : BC = 1 : 2
A1B1 : B1C1 = 1 : 2
CD : AD = 1 : 2
C1D1 : A1B1 = 1 : 2
BK : KC = B1K1 : K1C1
AM : MD = A1M1 : M1D1
C1
D1

17. Тестове завдання

1. Точка М не лежить у площині прямокутника ABCD. Яке взаємне розташування
прямих МА і СD ?
А) Перетинаються; Б) паралельні; В) мимобіжні; Г) паралельні або мимобіжні.
2. Пряма а паралельна площині
, пряма b належить площині .
Яким може бути взаємне розміщення прямих а і b?
А) Паралельні; Б) перетинаються; В) мимобіжні; Г) мимобіжні або паралельні.
3.Точка М лежить поза площиною трикутника АВС. Точки К, Р, Е і D – середини
відрізків МА, АВ, МС і ВС відповідно. Яке взаємне розміщення прямих
КР і ЕD?
А) Перетинаються; Б) мимобіжні; В) паралельні; Г) мимобіжні або перетинаються.

18.

4. Сторона АВ паралелограма ABCD належить площині , а сторона СD не
належить цій площині. Яке взаємне розміщення прямої СD і площини ?
А) пряма СD перетинає площину ; Б) пряма СD паралельна площині ;
В) пряма СD лежить у площині .
5. Пряма а паралельна площині
. Скільки площин, паралельних площині
можна провести через пряму а?
А) Одну; Б) дві; И) жодної; Г) безліч.
6. Як розташовані площини і , якщо пряма а перетинає площину
і паралельна площині ?
А) Паралельні; Б) перетинаються; В) збігаються; Г) визначити неможливо.
7. Точка М не належить жодній із паралельних площин і .
Скільки всього існує площин, які проходять через точку М і паралельні площинам
і ?
А) Одна; Б) дві; В) жодної; Г) безліч.

19.

8. Площини і паралельні. Пряма а перетинає площину .
Як розташована пряма а відносно площини ?
А) Паралельна площині; Б) лежить у площині; В) перетинає площину;
Г) визначити неможливо.
9. Основи трапеції паралельні площині . Яке взаємне розміщення площини
трапеції і площини ?
А) Перетинаються; Б) паралельні; В) збігаються; Г) визначити неможливо.
10. Площини і паралельні. Площина
по прямій а , а з площиною
перетинається з площиною
- по прямій b. Яке взаємне розміщення прямих
а і b?
А) Перетинаються; Б) мимобіжні; В) паралельні; Г) визначити неможливо.

20. Відповіді до тесту

1В , 2Г , 3В , 4Б , 5А ,
6Б , 7А , 8В , 9А , 10В

21. Задача. Побудувати переріз куба АВСDА1В1С1D1 площиною, що проходить через середини ребер АD і СD паралельно до ребра DD1.

В1
А1
N1
М1
С1
D1
ММ1 || DD1
NN1 || DD1
МM1N1N - шуканий
переріз
В
А
М
С
N
D

22. Задача. Побудувати переріз тетраедра ABCD площиною, що проходить через середину ребра АС паралельно ребрам AB і DC.

D
MK || DC
K
F
MN || AB
NF || DC
MKFN – шуканий переріз
A
B
M
N
C

23.

Методи побудови
перерізів
Метод слідів
Метод
внутрішньої
проекції
Комбінований
метод

24.

Пряма, по якій січна площина перетинає
площину α, називається слідом січної площини в
площині α. Точка, в якій січна площина
перетинає пряму, -слід січної площини на цій
прямій.
Задача.
Побудуйте переріз куба
ABCDA1B1C1D1 площиною, що
проходить через точки K, P, T.

25.

Якщо многогранником, переріз якого будується, є
піраміда, то використовується центральне
проектування на площину основи. Центром
проектування є вершина піраміди, в якій сходяться всі
бічні ребра.
Задача.
Побудуйте переріз чотирикутної піраміди SABCD площиною, яка
проходить через точки M, N, K.
S
P
F
N
M
C
B
E
O2
K
M1
R
A
N1
D
O1

26.

Задача.
Побудуйте переріз призми ABCDA1B1C1D1 площиною, яка проходить
через точки K, P, T.

27.

Чотирикутник
A1B1C1D1
є
зображенням квадрата. Точка М –
середина
АВ,
AC
і
DM
перетинаються у точці N. Побудувати
зображення ортоцентра трикутника
ANM .

28.

B
C
B1
C1
O
M
N
M1
K1
К
N1
D A1
A
Оригінал
D1
Зображення

29.

Дано куб АВСДА1В1С1Д1. Точки L, M, M1 – cередини
ребер АВ, АД, А1 Д1 відповідно. Яке взаємне розміщення
площин ДВ1Д1 і LMM1?
M1
(ДВ1Д1) || (LMM1)
MZ || DB як середня лінія ABD
MM1 || DD1 за ознакою паралельності площин
M
L

30. Задача для самостійного розв’язування

Дано прямокутниий паралелепіпед ABCDA B C, D
у якого АВ=
1 1 1
70, ВС= 99 , AA1 = 126 .
Через вершину D1 зроблено переріз
паралелепіпеда, паралельний площині
A1BD . Знайдіть площу цього перерізу.
1