Арифметическая и геометрическая прогрессии

1.

2.

Основная цель:
сформировать целостную систему
ведущих знаний по теме
«Арифметическая и геометрическая
прогрессии»
прогрессии
2

3.

Задача
• Назовите пять первых членов
последовательности (аn), если а1=3,
аn+1=an+4.
Ответ: [3; 7; 11; 15; 19]

4.

Опорная таблица
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Рекуррентная формула
аn 1 an d
bn 1 bn q
Свойство
an 1 an 1
аn
2
bn 2 bn 1 bn 1
Формула n–го члена
Формулы суммы n–
первых членов
прогрессии
аn a1 d (n 1)
(a1 аn ) n
S
1
n
2
S
n
2a1 d (n 1)
n 2
2
bn b1 q n 1
b (q n 1)
S 1
,q 1
n
q 1

5.

Задача. Перед вами последовательности. Определите, какие
последовательности являются арифметической прогрессией, а
какие геометрической.
Последовательность
Вид
2; 4; 8; 16; …
геометрическая прогрессия, q= 2
арифметическая прогрессия, d= 10
геометрическая прогрессия, q= 3
геометрическая прогрессия, q= 0,5
арифметическая прогрессия, d= 2
арифметическая прогрессия, d= -3
геометрическая прогрессия, q= -2
геометрическая прогрессия, q= -1/3
арифметическая прогрессия, d= -7
арифметическая прогрессия, d= 1
арифметическая прогрессия, d= 0
1; 11; 21; 31; …
1; 3; 9; 27; …
2; 1; 0,5; 0,25; …
1; 3; 5; 7; 9; 11; …
20; 17; 14; 11; 8; 5; 2; …
1; -2; 4; -8; …
3; -1; 1/3; -1/9; …
1; -6; -13; -20; -27; -34;…
9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; …
25; 25; 25; 25; 25; 25; …

6.

7.

Задание № 11 ОГЭ
1) Геометрическая прогрессия задана
условиями b 7,b 3b .
1
n 1
n
Найдите сумму первых 5 её членов.
Решение.
Сумма первых членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:
n
b (q 1)
S 1
,q 1
n
q 1
Найдём знаменатель геометрической прогрессии:
Необходимо найти
S5
q 3
7((3)5 1) 7(243 1) 7 (242)
S
847
5
3 1
2
2
Ответ: −847.

8.

Задание № 11 ОГЭ
Арифметическая прогрессия задана условиями: а1 3,1 ,
а
a 0,9 .
n 1 n
Найдите сумму первых 19 её членов.
1 способ. Сумма первых членов геометрической прогрессии
может быть найдена по формуле:
2a d (n 1)
S 1
n
n
2
По условию, а 3,1 d 0,9 ,
1
откуда получаем
2( 3,1) 18 0,9
6,2 16,2
S
19
19 5 19 95
19
2
2
Ответ: 95.

9.

Задание № 11 ОГЭ
2 способ.
Сумма первых членов геометрической прогрессии
может быть найдена по формуле:
(a1 аn ) n
S
n
2
(a1 а19 ) 19
Ищем сумму первых 19 членов:
S19
2
По условию, а1 3,1 d 0,9 , тогда по формуле
аn a1 d (n 1)
Тогда, а19 3,1 0,9 18 3,1 16,2 13,1
( 3,1 13,1) 19 10 19
S19
5 19 95.
2
2

10.

Задание № 11 ОГЭ
В арифметической прогрессии
.
Найдите разность прогрессии. аn a1 d (n 1)
а 32, а 152
9
21
Решение. Зная формулу n - го члена
арифметической прогрессии и получаем систему
уравнений
32 а d (9 1),
1
12d
152 a d (21 1),
1
Ответ: -10.
120, d 10.

11.

Задание № 11 ОГЭ
Дана геометрическая прогрессия (bn), для которой b5 = −14, b8 = 112. Найдите знаменатель
прогрессии.
Решение. Член геометрической прогрессии с номером n вычисляется по формуле b b q n 1 .
n
1
Зная, что b5 = −14 и b8 = 112, получаем систему
уравнений:
4
14 b1q ,
q 2.
112 b q 7 ,
1
Ответ: -2.

12.

Домашнее задание
Задания для самостоятельной работы (см. зад
№ 11 в сборниках под ред. И.В. Ященко )

13.

Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни
приведут.