Объем прямой призмы. Урок геометрии в 11 классе

1.

Урок геометрии в 11 классе
Учитель математики Черникова Г.Н..
МБОУ лицей №1 г. Пролетарска
2018-2019 уч. год

2.

«Геометрия является одним из
могущественных средств для воплощения в
жизнь многих идей». («Геометрия является
самым могущественным средством для
изощрения наших умственных
способностей и дает нам возможность
правильно мыслить и рассуждать. Г.
Галилей»)

3. Эпиграф:

Первое условие, которое надлежит
выполнять в математике, –
это быть точным, второе – быть
ясным и, насколько можно,
простым.
Лазар Карно
(французский государственный и военный
деятель, инженер и ученый)

4.

а)
б)
в)
г)
д)
Какой многогранник называется призмой?
Какая призма называется прямой?
Какая призма называется правильной?
Что является основанием правильной
треугольной призмы?
Чем являются боковые грани призмы?
Прямой призмы? Правильной призмы?

5. Выберите неверное утверждение

а) За единицу измерения объемов
принимается куб, ребро которого равно
единице измерения отрезков;
б) тела, имеющие равные объемы, равны;
в) объем прямоугольного параллелепипеда
равен произведению трех его измерений;
г) объем куба равен кубу его ребра;
д) объем прямоугольного параллелепипеда
равен произведению площади основания на
высоту.
е) Сформулируйте свойства объемов?
.

6.

Как вычислить объем прямоугольного
параллелепипеда?
Найдите объем прямоугольного
параллелепипеда, если его длина равна 6
см, ширина — 7 см, а диагональ — 11 см.
а) 252 см3; б) 126 см3; в) 164 см3;
г) 462 см3; д) 294 см3.

7.

Измерения прямоугольного параллелепипеда
равны 3 см, 18 см, 4 см. Найти ребро куба
объем которого равен объему
данного параллелепипеда
4 см
3 см
? см
18 см
Vпар-да = Vкуба

8.

Сформулируйте следствие из
теоремы об объеме
прямоугольного параллелепипеда,
в основании которого
прямоугольный треугольник.

9.

Теорема. Объём прямой
призмы равен
произведению площади
основания на высоту.

10.

I часть
Дано: ABCA1B1C1 –
прямая призма.
B1
A1
Доказать: V = Sосн ·h
D1
C1
B
A
D
Доказательство.
Проведем высоту BD, которая
делит ∆АВС на два
прямоугольных треугольника и
плоскость (BDD1)┴ (ABC)
C
Получим две призмы, основания которых прямоугольные
треугольники, и они прямые, для вычисления объёма
применим следствие 2.
V1 и V2 их объемы V1 = SABD ·h, V2 = SDBC ·h,
тогда V= V1 + V2 = SABD ·h + SDBC ·h =h · (SABD+
SDBC) = h · SABC = Sосн ·h

11.

II часть
Рассмотрим n-угольную
произвольную призму. Ее
можно разбить на (n -2)
прямые призмы (рис. 1). Объём
каждой треугольной призмы
можно вычислить применяя
I часть теоремы
S3
S1
(рис. 1)
S2
V= V1+V2+ V3+…+ Vn-2
=S1 ·h +S2 ·h+S3 ·h+…+
Sn-2 ·h = h · (S1 + S2 +S3
+…+Sn-2 ) = Sосн ·h
Т. о. V= Sосн ·h

12. СВЕДЕНИЯ ИЗ ПЛАНИМЕТРИИ

13.

ТРЕУГОЛЬНИК
ПРАВИЛЬНЫЙ
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
a
a2 3
S
4
a
S
1
ab
2
b
ПРОИЗВОЛЬНЫЙ
1
S ah a
2
a

14.

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
КВАДРАТ
ПРЯМОУГОЛЬНИК
S a
a
РОМБ
2
S ab
a
b
1
S d1d 2
2
S ah а
a

15.

ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК
3 3a 2
S
2
а

16. ОБЪЕМ ПРИЗМЫ

17. ЗАДАЧА 1(27082)

Основанием
прямой
треугольной
призмы
служит
прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро
равно 5. Найдите объем призмы.
h
a
b
1
V S h a b h,
2
1
V 6 8 5 120.
2
Ответ : 120

18. ЗАДАЧА 2(27084)

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны
основания которой равны 1, а боковые ребра равны √3.
2
h
a
3 3a
V S h
h,
2
3 3 12
V
3 4,5.
2
Ответ : 4,5

19. ЗАДАЧА 3 (27048)

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы,
налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте
будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой
такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза
больше, чем у первого? Ответ выразите в см.
а 2 4а1 S2 16S1 ,
1
Так как V1 V2 , то h 2
h1 ,
16
h1
h2
80 : 16 5.
Ответ : 5

20. ЗАДАЧА 4 (27047)

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной
призмы, налили 2300 см³ воды и полностью в нее
погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде
поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Чему равен
объем детали? Ответ выразите в см³.
h2
h1
Vводы 2300
Sосн.
92,
h1
25
Vдетали Sосн. h 2 ,
Vдетали 92 27 25 184.
Ответ : 184

21.

C1
B1
C
45°
B
A1 В основании прямой призмы лежит
прямоугольный равнобедренный
треугольник
АВС.
Дано:
ABCA
6 см
1B1C1- прямая призма,
∠АСВ
=90°,
АС=СВ, BN=NA,
точка N делит
AC=BC,
∠АСВ=90°,
гипотенузу
∠CNC1= 45°,пополам.
СС1=6 см.
ОтрезокVС1N составляет угол 45° с
A Найти:
плоскостью основания.
N
Боковое ребро равно 6 см.
Решение.
V= Sосн ·h
Найти объём призмы.
S ABC
1
a b
2
CN=CC1=6 cм
1
2
2
3
CN
V
(
6
2
)
6
6
6
216
см
CB
6 2см
2
cos 45
Ответ: 216 см3

22.

B1
C1
Основанием прямой призмы
является ромб, острый угол
A1
D1
ABCDA
1B1C1D1- прямая призма,
2 Дано:
которого
60°.
ABCD – ромб, ∠ВАD=60°, BB1=2,
Боковое ребро равно 2.
B
C ∠B1DВ= 45°.
45°
Найти: V диагональ призмы составляет
Меньшая
60°
с плоскостью основания угол 45°.
A
D
Найти объём призмы.
Решение.
V= Sосн ·h
S ABCD a b sin
∆ABD - равносторонний
AB=BD=2, т. к. ∆B1BD - равнобедренный
V 22 sin 60 2 4 3
Ответ:
4 3

23.

Что представляет собой
правильная шестиугольная
призма?
C1
B1
A1
F1
M1
B
C
D
A
M
F

24.

Какая диагональ в этой призме
наибольшая?
C1
B1
A1
1
2
3
DM1
DB1
DA1
F1
ПОДУМАЙ
!
ПОДУМАЙ
!
ВЕРНО!
M1
B
C
D
A
M
F

25.

№665
C1
B1
Наибольшая диагональ
D1 Дано:
правильной
шестиугольной
ABCDFM...M
1 - правильная
призмы равна 8призма.
см
шестиугольная
A1D = 8 см,
∠AА
C
1D = 30° с боковым
и составляет
Найти:V
ребром угол в 30°.
A1
F1
M1
B
D
A
О
Из ∆AА1D, где ∠А=90° находим AА1
F
M
Найти
объём призмы.
V= Sосн ·h
Решение.
3
АA1 DA1 cos 30 8
4 3см
2
2
OD=OA=R=2 см
S осн 6
а
4
AD=4 см
3
6 3см 2
V 6 3 4 3 72(см )
3
Ответ : 72см
3

26. Ответы к самостоятельной работе

1
2
3
4
5
6
7
8
I
5
108
3
300
18
32
58,5
II
6
364,5
3
960
32
9
282,5 0,25
9
1,25 120
90
10
2,5
9

27.

Учусь решать задачи 2-й части
Знаю теорию, умею решать
задачи 1-й части
Умею решать задачи, пользуясь
справочным материалом
Знаю теорию, но не всегда
могу её применить
Не знаю теорию, не умею её
применять

28. Домашнее задание.

№659(а), №663(а, б), п.65

29.

Спасибо за
работу!