Предел последовательности

1. Предел последовательности

2. Понятие сходящейся последовательности

Обратим внимание, что члены последовательности
(хn) как бы «сгущаются» около точки 0, а у
Рассмотрим две (у
числовые
последовательности
последовательности
n) такой точки нет. В подобных
случаях
что последовательность
(хn) сходится,
(уn) иговорят,
(хn) и изобразим
их члены точками
на а
последовательность
n) расходится.
координатной(упрямой.
(уn): 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n – 1,…;
0
1
3
5
9
7
11
13
у
1 1 1 1
1
(хn): 1, , , , , ..., ,...
2 3 4 5
n
0
1 1 1 1
12 6 4 3
1
2
1
х

3. Понятие сходящейся последовательности

Окрестность точки
Определение 1. Пусть а – точка
прямой, а r – положительное число.
Интервал (а - r; a + r) называют
окрестностью точки а, а число r –
радиусом окрестности.
a-r
a
a+r
х
Пример. (3,97; 4,03) – окрестность
точки 4, радиус равен 0,03.

4. Окрестность точки

В математике «точку сгущения» для членов
заданной
последовательности
принято называть
Предел
последовательности
«пределом последовательности».
Определение 2. Число b называют пределом
последовательности (уn), если в любой заранее
выбранной окрестности точки b содержатся
все члены последовательности, начиная с
некоторого номера.
Обозначение: 1. (уn стремится к b или уn сходится к b);
yn b
2. (предел последовательности уn при стремлении n
к бесконечности равен b)
lim y
n
n
b

5. Предел последовательности

Формулы
1) lim 1/n = 0
n→∞
2) lim qn = 0, если 0 < |q| < 1
n→∞
Если q > 1, то lim qn не существует.
n→∞
3) lim С = С
n→∞
4) lim (к /nm) = 0
n→∞

6. Формулы

Построим графики
последовательностей:
1
yn
n
1
yn
2
yn
1
n
Рис. 1
у=0
n
Рис. 2
у=0
у=2
2n
yn
n 1
Рис. 3

7.

Асимптоты графика
Обратите внимание, что на всех трех
рисунках точки графика, по мере их ухода
вправо, все ближе и ближе подходят к
некоторой горизонтальной прямой:
на рис 1 – к прямой у = 0,
на рис 2 – к прямой у = 0,
на рис 3 – к прямой у = 2.
Каждую из этих прямых называют
горизонтальной асимптотой графика.

8. Асимптоты графика

Вообще равенство
lim f (n) b
n
означает, что прямая
у=а
является горизонтальной асимптотой
графика последовательности,
т.е. графика функции
y f ( x), x N .
yn f (n)
у=b

9. Асимптоты графика

Свойства
● Если последовательность сходится,
то только к одному пределу.
● Если последовательность сходится ,
то она ограничена.
Обратное−неверно:1,2,3,1,2,3,…−
ограниченная последовательность,
но она не сходится
●Теорема Вейерштрасса
Если последовательность монотонна
и ограничена, то она сходится.

10. Свойства

Карл Теодор
Вейерштрассвыдающийся немецкий
математик, отец
«современного анализа»
• 1815-1897 г.
• Кратер на Луне

11.

Свойства вычисления пределов
Если lim хn = b и lim уn = c , то
n→∞
n→∞
1)Предел суммы равен сумме пределов:
lim (хn+ уn) = lim хn + lim уn = b + c
n→∞
n→∞
n→∞
2)Предел произведения равен произведению пределов:
lim (хn· уn) = lim хn ∙ lim уn = b · c
n→∞
n→∞ n→∞
3)Предел частного равен частному пределов:
lim (хn : уn) = lim хn : lim уn = b : c
n→∞
n→∞ n→∞
4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела:
lim (k · хn) = k · lim хn = k · b
n→∞
n→∞

12. Свойства вычисления пределов

1
Пример 1. xn 2
n
1
1 1
1
1
lim 2 lim ( ) lim lim 0 0 0
n n
n n n
n n n n
Пример 2
5 7
5
7
lim ( 2 2) lim 2 lim lim 2 0 0 2 2
n n
n n
n n
n
n

13.

Примеры вычисления пределов
Пример 3. Вычислить
lim
x
2 x 5 3x 3 1
x5 4 x 2 2 x
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x, т.е. на x5.
2 x 5 3x 3
1
3
1
2
x 2 x5
x5
x5
x5
2 x 5 3x 3 1
lim
lim 5
2
4
2
lim
5
2
x
x
4
x
2
x
x
1
x x 4 x 2 x
3
4
5 5
5
x
x
x
x
x
3
1
3
1
2 lim 2 lim 5 2 0 0
2 2 5 lim
lim
2
x
x x
x x
x
x
x
2
4
2
4
2
1 0 0
1
1
lim
1
lim
lim
lim
x x 3
x x 4
x 3 x 4 x
x

14. Примеры вычисления пределов

Пример 4. Вычислить
5x3 x 2 1
lim
4
2
x 2 x 3 x 5 x 2
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x 3т.е. 2на x4.
5x3 x 2 1
lim
lim
4
2
x
x 2 x 3 x 5 x 2
1
1
5
lim
x2 x4
x x
3
5
2
2 2 3 4
lim
x
x
x
x
5
1
1
5x
x
1
x x2 x4
x4
x4 x4
lim
2
3
5
2
2
3x
5x
2
x
2 2 3 4
4
4
4
4
x
x
x
x
x
x
x
5
1
1
lim 2 lim 4
x x
x x
x x
3
5
2
lim 2 lim 2 lim 3 lim 4
x
x x
x x
x x
lim
0 0 0
0
0
2 0 0 0 2

15. Примеры вычисления пределов

Пример 5. Вычислить
lim
x
2x6 x2 i
x 4 2 x3 x
Решение. Делим числитель и знаменатель
дроби почленно на наивысшую из имеющихся
степень переменной x, т.е. на x6.
lim
x
x6 x2 i
lim
4
3
x 2 x x x
1
i
2x6 x2
i
2 4 6
6 6
6
x
x
x
x
x
1
2
1
x 4 2 x3
x lim
x
3 5
6 6
2
6
x
x
x
x
x
x
1
i
1
i
lim 2 lim 4 lim 6
2 4 6
lim
x
x x
x x
x
x
n
1
2
1
2
1
1
lim 2 lim 3 lim 5
2
3
5
lim
x x
x x
x
x
x
x x
n
2 0 0 2
(не существует)
0 0 0 0

16. Примеры вычисления пределов

Правила вычисления пределов
1. Если старшая степень числителя и
знаменателя совпадают, то предел
такого вида всегда будет равен
отношению коэффициентов при
старших степенях переменной.
2 x 3x 1
2
5
2
x 4x 2x
5
lim
x
3

17. Правила вычисления пределов

2. Если степень знаменателя
выше степени числителя, то
предел такого вида равен нулю.
5x x 1
0
lim
4
2
x 2 x 3 x 5 x 2
3
2

18. Правила вычисления пределов

3. Если же старшая степень числителя
выше степени знаменателя, то, очевидно,
все слагаемые знаменателя в пределе
будут равны нулю, это означает, что
предел не существует.
x x i
4
3
x 2x x
6
lim
x
2

19. Правила вычисления пределов

Вычислите самостоятельно пределы функций на
бесконечности:
x4 4x 2
1. lim 2
x 5 x 3 x 1
3x
2. lim 2
0
x x 3x 7
4
2
x 4x 7
3. lim 2
x x 4 x 3
6 x 3 3x 2 x 1
4. lim
3
2 x x 13
x
6
3
2

20.

Методика вычисления пределов в точке
Если функция существует в точке x = a, то ее предел
равен f(a).
Примеры вычисления пределов
Пример 1. Вычислить lim (2 x 5)
x 3
Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3) и
применим правила вычисления пределов.
(2 x 5) lim 2 x lim 5 2 lim x lim 5
lim
x 3
x 3
x 3
x 3
x 3
6 5 2 3 5 11

21. Методика вычисления пределов в точке

Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
Решение.
lim ( x 2 x 3)
2
x ( 2 )
lim ( x 2 x 3) lim x lim 2 x lim 3
2
2
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
lim x 2 lim x lim 3
2
x ( 2 )
x ( 2 )
x ( 2 )
( 2) 2 ( 2) 3 4 4 3 3
3x
Пример 3. Вычислить lim 2 x 1
x 3
Решение.
3 lim x
2
lim 3 x
3x
x 3
x 3
lim
x lim 1
lim (2 x 1) 2 lim
x 3 2 x 1
x 3
x 3
x 3
3 3
1,8
2 3 1

22.

Методика вычисления пределов в точке
Если же функция в точке х = а не существует, в
знаменателе дроби ноль, то вычисляем
значение числителя
в этой точке.
3
x
1. lim 3
2
x x 4
5
x
1
2. lim
2
x 1 x 1
2x
3. lim
x 3 x 3
x 2

23. Методика вычисления пределов в точке

Примеры вычисления пределов
x3
Пример 1. Вычислить lim 3
x 2 x x 2 4
Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2) и
применим правила вычисления пределов.
3
lim x
x
x 2
lim 3
2
3
2
x 2 x x 4
lim ( x x 4)
3
lim x 3
x 2
3
2
3 2
3
2
lim x lim x lim 4 2 2 4
x 2
x 2
x 2
x 2
8
8
8 4 4 0

24.

Примеры вычисления пределов
Пример 2. Вычислить
5x 1
lim 2
x 1
x 1
Решение. Подставим вместо x число 2 (т.к. x 2) и
применим правила вычисления пределов.
5x
lim 2
x 1
x 1
lim 5 x
x 1
lim ( x 1)
x 1
5 lim x
5 1
x 1
2
2
lim x lim 1
1
1
x 1
x 1
5
5
1 1 0
2

25.

Примеры вычисления пределов
Пример 3. Вычислить
2x
lim
x 3
x 3
Решение. Подставим вместо x число 3 (т.к. x 3) и
применим правила вычисления пределов.
lim x
3
lim
2
x
x 3
2x
x 3
lim
x 3
x lim 3
( x 3) lim
x 3 lim
x 3
x 3
x 3
2 lim x
2 3 6
lim x lim 3 3 3 0
x 3
x 3
x 3

26.

Методика вычисления пределов в точке
Если и в знаменателе и в числителе нули, то,