Дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Лекция № 7

1.

Лекция № 7
Дифференциал.
Применение
дифференциала к
приближенным
вычислениям.

2.

Содержание

3.

Вычисление дифференциала.
Мы установили, что дифференциал функции У = f(x) имеет форму
т. е. дифференциал функции
равен произведению производной этой
функции на дифференциал ее аргумента.
Пример 1. Найти дифференциал функции
Решение По формуле (1) находим:
Пример 2. Найти дифференциал функции
Решение. Находим:

4.

Дифференциалы высших порядков.
Из формулы
следует, что дифференциал функции
зависит от двух
переменных, х и
, причем dx от х не зависит.
Рассмотрим дифференциал
только как функцию от х, т. е. будем считать dx
постоянным.
В этом случае можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от
дифференциала функции
называется дифференциалом второго порядка,
или вторым дифференциалом этой функции и обозначается
(«де два игрек»)
или
(«де два эф от икс»).
Таким образом,
Принято скобки при степенях dx не писать, поэтому
Аналогично определяются Дифференциалы третьего порядка:
Вообще, дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала
(n— 1)-го порядка:
Таким образом, для нахождения дифференциала n-го порядка функции y = f(x) нужно
найти производную n-го порядка от этой функции и полученный результат умножить на
Пример. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядка функции
Решение. Находим соответствующие производные от данной функции:
Следовательно,

5.

Приложение дифференциала приближенным вычислениям.
Рассмотрим функцию y = f(x), приращение которой
и дифференциал
Выше было установлено, что при достаточно малых имеем
Так как вычислять df(xo) значительно проще, чем
на практике формулу (3) применяют к различным приближенным вычислениям.
1. Вычисление приближенного значения приращения функции.
Пример 1. Найти приближенное значение приращения функции
Решение. Применив формулу (3), получим:
= 6х0Л* =.0,001
Посмотрим, какую погрешность мы допустили, вычислив дифференциал данной функции
вместо ее приращения. Для этого найдем истинное значение приращения:
Далее, находим абсолютную погрешность приближения:
а затем и относительную погрешность:
Погрешность приближения оказалась довольно малой, что еще раз подтверждает
целесообразность применения формулы (3).

6.

2. Вычисление приближенного числового значения функции.
Из формулы (1) имеем
или
Пример 2. Найти приближенное значение функции
Решение. Представим х в виде суммы
Приняв хо = 3 и
, найдем
Следовательно,
3.Приближенное вычисление степеней.
Рассмотрим функцию Применив формулу (4), получим
или
По этой формуле наводят приближенное значение степеней.
Пример 3. Найти приближенное значение степени 5,0133.
Решение. Представим данную степень в виде (5 + 0,013)3. Приняв
по формуле
(5) найдем:
Приближенное извлечение корней.
При
и
формула (5) примет вид
или
Формула (6), известная и по школьному курсу, дает возможность найти приближенные значения
различных корней.
Пример 4. Найти приближенное значение корня
Решение. Представим данный корень в виде
Приняв
, по формуле (6) найдем:

7.

Закрепление материала
Закрепление материала:
1. Найти приближенные значения приращений следующих функций:
2. Сторона квадрата равна 5 см. Найти приближенное приращение его площади при
увеличении его стороны на 0,01 см.
3. Шар радиуса R = 9 см был нагрет, вследствие чего его объем увеличился на
На сколько (приближенно) удлинился его радиус?
4. Найти приближенные значения следующих функций:
5. Найти приближенные значения степеней:
6. Найти приближенное значение корней:
.