Дифференциалы первого и высших порядков функции одной переменной. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

1. Дифференциалы первого и высших порядков функции одной переменной.

Применение дифференциала в
приближенных вычислениях

2. Геометрический смысл дифференциала функции y = f (x)

y
y0 y
Геометрически
дифференциал
функции
y = f (x) в точке x0
равен приращению
ординаты касательной,
проведенной к
графику функции
в этой точке
B
y f (x)
y
M
y0
0
dy
A
N
х0 dx х
х0 x
х
y dy ( x) x y ' ( x0 ) x ( x) x
dy
tg
dy tg x y ' ( x0 ) x y 'dx
x

3. Дифференциал первого порядка

Дифференциалом первого порядка функции y = f (x)
называют главную часть ее приращения линейную
относительно независимого аргумента x и обозначают:
dy y ' dx

4. Правила нахождения дифференциала

1) dc 0, где с const ;
2) d (cu ) c du;
3) d (u ) du d ;
4) d (u ) ud du;
u du ud
5) d
;
2
6) dy f u dx f du.
'
u
'
x
'
u

5. Дифференциалы высших порядков

d y y dx ;
2
''
Для того, чтобы записать
2
d y y dx ;
...................
3
'''
3
d y y dx .
n
(n)
n
дифференциал n – го порядка функции
y = f (x) необходимо найти
дифференциал от дифференциала
n - 1 порядка:
d n y d (d n 1 y) ( y ( n 1) )' dxn y ( n ) dxn

6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

1. Линеаризация функций
f (х) = у = f (х0)+ f (х0) (х – х0)
2. Приближенное вычисление значений функций
f (х0 + ∆х) ≈ f (х0)+f (х0) х

7.

Спасибо за внимание!!! =)