8d75d0c72527460392f5bd9590121ca4 (1)

1.

Комбинации многогранников и
тел вращения

2.

Шар (сфера) называются вписанными в
многогранник, если все грани многогранника
касаются поверхности шара (сферы).
13.11.2025
2

3.

Шар (сфера) называются описанными около
многогранника, если все вершины многогранника
принадлежат поверхности шара (сфере).
13.11.2025
3

4.

Шар вписанный в цилиндр.
Центр шара – середина отрезка, соединяющего центры
оснований цилиндра.
4
13.11.2025

5.

Шар описанный около цилиндра
Центр – середина отрезка, соединяющего центры оснований
цилиндра.
13.11.2025
5

6.

А
Шар вписан в конус
Центр – точка пересечения
высоты конуса и биссектрисы
угла между образующей конуса
и плоскостью основания .
В
К
D
О
С
С
Шар описан около конуса
Центр – точка пересечения
высоты конуса и серединного
перпендикуляра
к
образующей конуса .
13.11.2025
К
О
А
Н
В
6

7.

Правильная треугольная пирамида,
вписанная в шар
S
АQ = ВQ = CQ = SQ= R –
радиус шара.
AO = BO = CO = r –
радиус круга,
описанного около
основания пирамиды.
H
Q
R
B
T
C
r
E
O
P
SO = H – высота
пирамиды.
SЕ = h – апофема
пирамиды.
R r H R
2
A
2
2

8.

Правильная четырехугольная пирамида,
вписанная в шар
S
AQ = BQ = CQ = DQ =
= SQ = R – радиус шара.
AO = BO = CO = DO = r
радиус круга,
описанного около
основания пирамиды.
H
Q
D
C
SO = H – высота
пирамиды.
R
E
r
O
P
B
A
SЕ = h – апофема
пирамиды.
R r H R
2
2
2

9.

Треугольная пирамида описана около шара
E1Q = OQ = TQ = R – радиус шара.
S
EO = PO = r – радиус круга,
вписанного в основание пирамиды.
SO = H – высота пирамиды.
S
E1
T
R
B
E1
Q
R
r
E
r
R
C
O
P
A
Q
E
r
O

10.

Четырехугольная пирамида описана около шара
E1Q = P1Q = OQ = R – радиус шара.
S
EO = PO = r – радиус круга,
вписанного в основание пирамиды.
SO = H – высота пирамиды.
E1
S
B
E1
r
P1
Q
C
P1
R
E
E
M
O
P
A
P
O
D

11.

1
Высота конуса 8, образующая 10. Найдите
радиус вписанного шара
Решение:
А
8
К
1)
ОС АС 2 АО2 100 64 6
2)
АСD : АС АD АО медиана, DС 12
S
3) S ADC рr р КВ, r
р
В
1
1
4) S ACD DС AO 8 12 48
2
2
AD AC CD
16
2
48
r КВ
3
16
5) p
D
О
С
13.11.2025
11

12.

2
Высота конуса равна 2, образующая равна
4. Найдите радиус описанного шара.
С
Решение:
1)
2
2)
abc
abc
S АВС
, R AO
2R
2S
СВН :
r ВН СВ 2 СН 2 12
О
3)
АВС : АС СВ 4
АН НВ 2 2 2 4 2
А
Н
В
1
AB CH 4 3
4) S ABC
2
4 4 4 3
4
5) Rш ОА
4 4 3
13.11.2025
12

13.

3
В шар вписан конус, образующая которого равна
диаметру основания. Найдите отношение полной
поверхности этого конуса к поверхности шара
С
О
А
13.11.2025
Н
В
13