Матрица. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами

1. МАТРИЦЫ

Преподаватель Гусельникова Е.В.

2. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

• Нахождение обратной матрицы - задача, которая чаще решается двумя
методами:
• - методом алгебраических дополнений, при котором, как было
замечено в начале урока, требуется находить определители, миноры и
алгебраические дополнения и транспонировать матрицы;
• - методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется
производить элементарные преобразования матриц (складывать строки,
умножать строки на одно и то же число и т. д.).
• Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной)
квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только
одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы
обратная матрица не существует.
• Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы.
Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же
порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть
найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

14.

15.

16. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) матричным методом.

17.

18. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса.

• Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения
неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных
преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы
её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что
треугольной
• или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса,
далее - просто прямой ход).
• В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не
содержит переменных y и x, а второе уравнение - переменной x.
• После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не
представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы,
определить число решений и найти сами решения.

19.

• При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами
преобразований.
• При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и
неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно:
• - переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой
статьи);
• - если в результате других преобразований появились равные или
пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
• - удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю;
• - любую строку умножать или делить на некоторое число;
• - к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.
• В результате преобразований получаем систему линейных уравнений,
эквивалентную данной.
• Рассмотрим решение систем линейных уравнений, в которых число
неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то
есть в ней число строк равно числу столбцов.