Відстань між мимобіжними прямими

1. Відстань між мимобіжними прямими

Способи розв’язування задач
Творчий проект Башуцької Оксани

2.

Означення: спільним перпендикуляром до двох мимобіжних
прямих називається відрізок з кінцями на даних прямих,
перпендикулярний до кожної з них.
A
a
AB a, AB b
B
b

3.

Мимобіжні прямі мають єдиний спільний перпендикуляр.
Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин,
які проходять через ці прямі.
ǁ , AB , AB
A
a
b
B

4.

Означення: відстанню між мимобіжними прямими
називається довжина їх спільного перпендикуляра.
Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які
проходять через ці прямі.
ǁ , AB , AB , (a,b)= ( , )=AB
A
a
b
B

5. Основні способи знаходження відстані між двома мимобіжними прямими

1)Будують спільний перпендикуляр до даних мимобіжних
прямих і обчислюють його довжину;
2) Проводять через дані мимобіжні прямі паралельні
площини і обчислюють відстань між ними;
3) Проводять через одну з мимобіжних прямих площину,
паралельну другій прямій і обчислюють відстань до цієї
площини від паралельної до неї прямої;
4) Проводять площину, перпендикулярну до однієї з даних
прямих і ортогонально проектують на неї обидві прямі.
Шукана відстань дорівнює відстані між проекціями цих
прямих.

6. Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра

В ході розв’язання відшукують або будують спільний
перпендикуляр до даних мимобіжних прямих і обчислюють
його довжину
Задача 1. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими ВC і DD1
B
C
1
A
1
D
1
1
B
A
(BC, DD1)=DC=a
C
D
CD BC, CD DD1 як суміжні сторони
квадратів – граней куба
CD – спільний перпендикуляр
для прямих BC та DD1

7. Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра

Задача 2. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими AA1 і CB1
B
C
1
A
1
D
1
1
B
A
C
D
AA1 A1B1 , BC BB1 , BB1 A1B1
як суміжні сторони квадратів –
граней куба
За теоремою про три перпендикуляри
CB1 A1B1
A1B1 – спільний перпендикуляр
для прямих B1C та AA1
(B1C, AA1)= A1B1 = a

8.

Спосіб 2. Побудова паралельних площин
В ході розв’язання проводять через дані мимобіжні прямі
паралельні площини і ; тоді шукана відстань дорівнює
відстані між цими площинами.
a , b , ǁ , AB , AB , (a,b)= ( , )=AB
A
a
b
B

9. Спосіб 2. Побудова паралельних площин

Задача 3. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналями
несуміжних граней - прямими A1 В і DC1
B
C
1
A
1
D
1
1
P
B
A
PK- спільний перпендикуляр
заданих мимобіжних прямих
K
C
D
Діагоналі A1B та C1D лежать у
паралельних площинах , а саме:
A1B (AA1B), C1D (DD1C),
(AA1B) ǁ (DD1C)
AD – спільний перпендикуляр
для даних граней
(A1B, DC1)=AD=PK=a

10.

Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площини
В ході розв’язання проводять через одну з даних мимобіжних
прямих b площину , паралельну другій прямій a; тоді шукана
відстань дорівнює відстані між прямою a і паралельною їх
площиною
b , aǁ , AB , AB a, (a,b)= (a, )=AB
A
a
b
B
a1

11. Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площини

Задача 4. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналлю основи
та несуміжним до неї бічним ребром - прямими A1С1 і DD1
B
1
A
C
K
1
D
1
1
B
A
C
D
Проведемо через діагональ A1C1
верхньої грані куба площину,
паралельну до бічного ребра DD1площину AA1C.
AA1 (AA1C), AA1ǁ DD1, тому
DD1 ǁ (AA1C)
Так як діагоналі квадрата взаємно
перпендикулярні (A1C1 B1D1)
а також взаємно перпендикулярні
основи та побудована діагональна
площина, то КD1 – шуканий
перпендикуляр і шукана відстань,
де К – точка перетину діагоналей
основи
2
0
a
sin
45
a
(A1С1, DD1)=KD1=
2

12.

Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Проводять площину , перпендикулярну до однієї з даних
прямих a; і ортогонально проектують обидві дані прямі на цю
площину; тоді проекцією прямої a є точка А перетину цієї
прямої з площиною , проекцією прямої b – деяка пряма b1
площини , а шукана відстань дорівнює відстані від точки А
до прямої b1
a , b b1,
b1 , a =A,
b
b , m ,
ǁa, mǁa
AB b1,
(a,b)= (A,b1)=AB
a
m
b1 B
A

13. Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини

Задача 5. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між мимобіжними
діагоналями суміжних граней куба - прямими AС і DС1
Використаємо перпендикулярність діагоналей квадратів основ куба
Проведемо через діагональ BD площину, перпендикулярну до діагоналі АС,
- площину BB1D. Ортогональними проекціями на неї прямих AС та DC1
будуть точка О(перетин АС і BD) та пряма DO1
B
1
C
О1
1
A
D
1
1
К
B
A
О
Опустимо перпендикуляр ОК з
точки О на пряму О1D
ОК – шукана відстань
Так як OK O1D=OO1 OD, маємо:
a 2
OO1 a, BD a 2 , OD
2
2
C
D
a 2
2
a 1,5
O1 D a
2
OK
OO 1 OD
a 2
a
a
: a 1,5
O1 D
2
3

14. Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини

Задача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних
площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD1 і С1D , якщо
АВ=15 см, ВС=20 см
C1
D1
B
Оскільки D1A і C1В – перпендикуляри до
прямої перетину двох перпендикулярних
площин, то D1A (АВС), С1В (АВС).
Побудуємо ортогональні проекції прямих
AD1 і С1D на площину АВС. Проекціями є
відповідно точка А та пряма BD. Шукана
відстань дорівнює висоті АН прямокутного
трикутника ABD ( A=900)
C
H
А
D

15. Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини

Задача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних
площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD1 і С1D , якщо
АВ=15 см, ВС=20 см
C1
Оскільки за теоремою Піфагора ВD=25 см, то
AH
D1
AB AD
15 20
, AH
12(см)
BD
25
Відповідь: 12 см
B
C
H
А
D