Плоская кривая

1.

t , t , t C a, b
Плоская кривая: x t , y t , t
Пространственная кривая: x t , y t , z t , t
Кривая простая, если различным значения параметра t , соответствуют различные точки кривой.
Кривая замкнутая, если значениям t и t соответствует одна
точка.
1

2.

Длина дуги кривой
x t , y t , z t , t
t , t , t C a, b
Пусть T – произвольное разбиение отрезка , точками t0 t1
tn ,
M 0 , M1 ,..., M n – соответствующие точки кривой. Тогда говорят, что ломаная
M 0 M1M 2 ...M n вписана в кривую L и отвечает разбиению T .
Длина li звена ломаной M i 1M i равна
li ti ti 1 ti ti 1 ti ti 1
2
2
2 1/2
n
длина всей ломаной зависит от выбора точек в разбиении и равна l ti li .
i 1
Обозначим max ti ti 1 . Число l называется пределом длин ломаных l ti
1 i n
при 0 , если 0 0 такое, что для любого разбиения сегмента , ,
у которого , выполняется неравенство 0 l l ti .
Если существует предел длин ломаных, то кривая называется спрямляемой,
а этот предел называется длиной дуги кривой.
2

3.

Лемма 3.1. Пусть l * ti и l ti – длины ломаных, вписанных в кривую
L и отвечающих соответственно разбиениям T * , T * сегмента , . Если
разбиение T получено из T * добавлением нескольких новых точек, то
l * ti l ti .
Для доказательства достаточно рассмотреть случай добавления одной
точки.
Пусть звено M i 1M i заменяется двумя звеньями M i 1M и MM i . Тогда
M i 1M i M i 1M MM i ,
а значит, l * ti l ti .
Следствие. Если l ti – множество длин вписанных в кривую L
ломаных, отвечающих всевозможным разбиениям T сегмента , , ограничено, то кривая L будет спрямляемой, а верхняя грань множества l ti
будет длиной дуги L .
3

4.

Свойства спрямляемых кривых
1. Если кривая спрямляема, то длина ее дуги не зависит от параметризации
этой кривой.
2. Если спрямляемая кривая разбита при помощи конечного числа точек
M 0 , M1 ,..., M n , соответствующих значениям t0 , t1 , ..., tn параметра t , удовлетворяющим условиям t0 t1 ... tn , на конечное число кривых Li , то кажn
дая из кривых спрямляема и сумма длин l li является длиной этой кривой.
i 1
3. Пусть кривая L задана параметрически, и пусть l t – длина дуги участка
кривой L , точки которого определяются всеми значениями параметра
из , t . Функция l t является возрастающей и непрерывной функцией параметра t . Эту функцию l l t будем называть переменной дугой на кривой L .
4. Переменная дуга может быть выбрана в качестве параметра. Этот параметр
называется натуральным параметром.
4

5.

Длина кривой, заданной параметрически
Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями:
.
,
,
Если для функций t , t , t выполняется хотя бы одно из условий:
x t y t z t
t ,
,
– все они имеют на , непрерывные производные;
– их производные определены и интегрируемы на , ,
то кривая L спрямляема и длина l ее дуги может быть вычислена по формуле
l
t t t dt .
2
2
2
1/2
Декартовые координаты. Если кривая L является графиком функции
y f x , x a , b и f x C1 a, b , то кривая спрямляема и
b
l 1 f x dx .
2
a
Полярные координаты. Если кривая L определяется полярным уравнением
r r , 1 , 2 , и r C1 1 , 2 , то кривая L спрямляема и
2
l
1
r r d .
2
2
5

6.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ДУГИ
Пусть пространственная кривая задана уравнениями
x t , y t , z t , t , ,
t , t , t C1 a , b .
Тогда на , определена дифференцируемая функция
t
l t
d ,
2
2
2
которая называется переменной дугой кривой.
Так как переменная дуга является интегралом с переменным верхним пределом
от непрерывной функции, то
l t
а значит,
t t t ,
2
2
2
l t dt t dt t dt t dt
2
2
2
2
dl 2 dx 2 dy 2 dz 2
Если за параметр кривой выбрана переменная дуга l , т.е. x g l , y h l , z p l , то
2
2
2
dx dy dz
1.
dl dl dl
8

7.

ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Плоская фигура Q – часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой L
(кривую L называют границей фигуры Q ).
Многоугольник называется вписанным в фигуру Q , если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре Q или ее границе. Многоугольник называется описанным
вокруг фигуры Q , если все точки плоской фигуры Q и ее границы принадлежат многоугольнику.
Площадь любого вписанного в фигуру Q многоугольника не больше площади любого
описанного вокруг фигуры Q многоугольника.
Пусть Sint – числовое множество площадей, вписанных в плоскую фигуру Q многоугольников, а Sext – числовое множество площадей описанных вокруг Q многоугольников. Очевидно, что множество Sint ограничено сверху, а Sext – снизу.
P sup Sint – нижняя площадь фигуры,
P inf Sext – верхняя площадь фигуры.
9

8.

Теорема 3.4. P P .
Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняя площадь P
этой фигуры совпадает с ее нижней площадью P . При этом число P P P
называется площадью фигуры Q .
Теорема 3.5. «Фигура квадрируема»
« 0 такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой
вписанный в фигуру Q многоугольник, что Sext Sint ».
Граница плоской фигуры Q имеет площадь, равную нулю, если 0 можно
указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в Q
многоугольник, что Sext Sint .
Теорема. «Фигура квадрируема» «Граница фигуры имеет площадь нуль»
Теорема. Если граница плоской фигуры спрямляема, то фигура квадрируема.
10

9.

ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
f x C a, b
Теорема 3,7. Криволинейная трапеция – квадрируемая фигура и
ее площадь P может быть вычислена по формуле
b
P f x dx .
a
ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО СЕКТОРА
r r – непрерывна и неотрицательна на , .
Теорема 3,8. Криволинейный сектор – квадрируемая фигура и
его площадь может быть вычислена по формуле
1 2
P r d .
2
13

10.

t , t C1 a, b
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ В СЛУЧАЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО
ЗАДАНИЯ ЕЕ ГРАНИЦ
Теорема 3.9. Пусть граница плоской фигуры Q – простая замкнутая
кривая, заданная параметрическими уравнениями
x t , y t , t ,
причем точка t , t при изменении t от до пробегает границу так,
что фигура Q остается слева от движущейся точки. Тогда площадь P фигуры
Q может быть вычислена по любой из следующих формул:
P t t dt ,
P t t dt ,
1
P t t t t dt .
2
16

11.

Замечания:
1. Часто интеграл, полученный по последней формуле, считается значительно проще.
2. Требование замкнутости кривой и положительного обхода области (при увеличении параметра область должна оставаться слева) являются существенными.
Вычислим площадь области, ограниченной кривой, заданной параметрическими
уравнениями:
(*)
t 3 cos t , t 2 sin t , 0 t 2 .
Эти уравнения задают кривую, являющуюся окружностью с центром в точке 3, 2 и
радиусом 1, которая при увеличении параметра t обходит круг справа. Очевидно, что площадь области равна .
Вычислим теперь площадь области через интеграл, полученный по второй формуле.
Уравнения задают простую замкнутую кривую. Эта кривая обходит область справа, следовательно:
0
2
2
0
P t t dt sin t 2 sin t dt
1 cos 2t
1
2sin t
dt 2 .
2
2
0
2
17

12.

Посмотрим теперь варианты НЕПРАВИЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ (наиболее
часто встречающихся ошибок).
1. Очевидно, что без учета обхода получим для площади отрицательное
значение интеграла
2
t t dt P .
0
2. Попытка посчитать площадь как «сумму площадей нижнего и верхнего
полукруга» также приводит к неверному ответу. При изменении параметра от
до 0 кривая проходит по нижней половине окружности.
0
0
t t dt sin t 2 sin t dt
1 cos 2t
1
1
2sin t
dt
4
P.
2
2
2
0
Очевидно, что, поменяв пределы интегрирования местами, мы также
получим неправильный ответ.
18

13.

ОБЪЕМ ТЕЛ
Тело – часть пространства, ограниченная замкнутой непересекающейся
поверхностью.
Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело E и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела E .
Пусть Vint ( Vext ) – числовое множество объемов многогранников, вписанных в тело E (описанных вокруг тела E ). Тогда
V sup Vint – нижний объем тела E ,
V inf Vext – верхний объемам тела E .
Тело E называется кубируемым, если V V .
Число V V V называется объемом тела E .
Теорема 3,10.
«Тело E кубируемо» « 0 существует такой описанный вокруг E
многогранник и такой вписанный в E многогранник, что Vext Vint .»
19

14.

Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической
поверхностью с образующими, параллельными некоторой
оси, и двумя плоскостями, перпендикулярными этой оси.
Ступенчатое тело – объединение конечного числа
цилиндров, расположенных так, что верхнее основание
каждого предыдущего из цилиндров находится в одной
плоскости с нижним основанием последующего цилиндра.
Теорема 3.11. Если основание цилиндра E – квадрируемая фигура Q , то
цилиндр – кубируемое тело, объем которого равен Ph , где P – площадь основания Q , а h – высота цилиндра.
Следствие. Ступенчатое тело кубируемо.
Теорема 3.12. Если 0 можно указать описанное вокруг тела E и
вписанное в E ступенчатые тела, для которых Vext Vint , то тело E кубируемо.
20

15.

КУБИРУЕМОСТЬ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Теорема 3.13. Если y f x непрерывна и неотрицательна на a, b , то тело E , образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y f x , прямыми x a , x b ( a b ) и осью Ox , кубируемо, и его объем V может
b
быть найден по формуле V f 2 x dx (*).
a
Пусть T – разбиение сегмента a, b точками a x0 x1 ... xn b .
Построив в каждом сегменте xi 1 , xi два прямоугольника с высотами mi и M i , получим
две ступенчатые фигуры, одна из которых содержится в криволинейной трапеции, а другая
содержит ее. При вращении криволинейной трапеции и этих ступенчатых фигур получим
тело E и два ступенчатых тела, одно из которых содержится в E , а другое содержит E .
Объемы Vint и Vext этих тел соответственно равны:
n
n
Vint m xi
i 1
2
i
и
Vext M i2 xi .
i 1
2
Vint и Vext – нижняя и верхняя суммы для функции f x .
f 2 x C a, b
f 2 x R a , b
« разбиение T сегмента a, b такое, что Vext Vint » «тело E – кубируемо»
b
Предел указанных сумм равен f 2 x dx , а значит, объем V тела E может быть
a
вычислен по формуле (*).
22

16.

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Пусть – поверхность, образованная вращением вокруг оси Ox графика
функции y f x , непрерывной и неотрицательной на a, b .
Пусть T – разбиение сегмента
a, b точками a x0 x1 ... xn b и
A0 , A1 ,..., An – соответствующие точки графика функции. При вращении ломаной
A0 A1... An , вокруг оси Ox получится поверхность Ai , составленная из боковых
поверхностей усеченных конусов. Обозначим через P xi площадь полученной
поверхности. Если yi – ординаты f x в точках xi , а li – длина звена Ai 1 Ai
ломаной A0 A1... An , то
n
P xi yi 1 yi li .
i 1
Число P называется пределом площадей P xi , если 0 можно указать
0 такое, что для любого разбиения T сегмента a, b , максимальная длина
частичных сегментов которого меньше , выполняется неравенство P xi P .
Поверхность вращения называется квадрируемой, если существует предел
P площадей P xi . При этом число P называется площадью поверхности .
23

17.

1
Теорема 3.14. Если f x C1 a , b и x a, b f x 0 , то поверхность , образованная
вращением графика функции f x вокруг Ox , квадрируема, и ее площадь определяется интегралом
b
Px 2 f x 1 f x dx .
2
a
Так как li
xi xi 1 yi yi 1 – длина звена Ai 1 A1 ломаной A0 A1...An , с учетом форму2
2
лы Лагранжа
yi yi 1 f xi xi 1 , xi 1 , xi ,
получим
n
n
i 1
i 1
P xi yi 1 yi li yi 1 yi 1 f xi
n
2
2 f i yi 1 f i yi f i
n
i 1
1 f x
n
2 f i 1 f i xi yi 1 f i yi f i
i 1
2
При n выражение 2
n
i 1
2
i
i
1 f i xi .
2
f i 1 f i xi является интегральной суммой функции
i 1
2
2 f x 1 f x , которая, по условию теоремы, интегрируема и имеет предел
2
b
Px 2 f x 1 f x dx .
a
2
24

18.

1
y f y f 1 f x 0 .
n
Докажем, что lim
n
2
i 1
i 1
i
i
i
i
i
« f x непрерывна на a, b » « f x равномерно непрерывна на a, b »
« 0 0 такой, что при выполняются неравенства
yi 1 f i и yi f i ».
Пусть M max 1 f i
a ,b
, тогда
2
y f y f 1 f x
n
i 1
2
i 1
i
i
i
n
n
i 1
i 1
i
i
M xi 2 M xi 2 M b a .
Отсюда, в силу произвольности , получаем требуемую формулу.
З а м е ч а н и е . Квадрируемость поверхности вращения можно доказать и при более
слабых условиях. Достаточно потребовать, чтобы функция f x была определена и
интегрируема на сегменте a, b .
25