Определенный интеграл

1. определенный интеграл

2. Определенный интеграл.

1. Давайте разобьем наш отрезок на n равных частей, отметим внутри
отрезка [а;b] точки a x0 x1 x2 ... xn b и
через
каждую
точку
проведем прямую параллельную оси ординат. Тогда наша фигура
разобьется на n столбиков. Площадь трапеции будет равна сумме
площадей столбиков.

3.

y f (x)
y
x1 x2
0
xi
x n
a = x0c x1c x2 … xi 1c xi xn c1 xn = b
1
2
i
В результате получим промежутки:
n
x1, x2 ,..., xi ,..., xn
2. На каждом xi выберем произвольную точку c
3. Найдем
n
i
f (c1 ) x1 f (c2 ) x2 ... f (cn ) xn f (ci ) xi
i 1
формула интегральной суммы
x

4.

Опр: Если при любом разбиении отрезка
[a, b] на части и при любом выборе
точек ci на каждой части
интегральная сумма стремится к
одному и тому же пределу, то его
называют определенным интегралом
и обозначают:
b
f
(
x
)
dx
lim
f
(
c
)
x
i
i
a
xi 0
i 1

5. Определенный интеграл.

Такой предел на самом деле существует, и для него было введено
специальное обозначение и название – определенный интеграл. Важно!
Определенный интеграл существует только в случае непрерывной или
кусочно-непрерывной функции.
Определенный интеграл от непрерывной функции y=f(x) на
отрезке [a;b] обозначается как
Читается как определенный интеграл от a до бэ эф от икс дэ икс.
Числа a и b – пределы интегрирования. (Нижний и верхний
пределы).

6.

Теорема: Если функция f (x ) непрерывна на
отрезке [a, b], а функция F (x )
является первообразной для f (x )
на этом отрезке, то справедлива
формула:
b
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a)
b
a
a
формула Ньютона-Лейбница

7. Основные свойства определенного интеграла

a
1. f ( x )dx 0
a
b
2. dx b a
a
b
a
a
b
3. f ( x )dx f ( x )dx

8. Основные свойства определенного интеграла

b
c
b
4. f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx а
с
a
a
c
b
b
a
a
5. cf ( x )dx c f ( x )dx, c const
b
b
b
a
a
a
6. ( f ( x ) g ( x )) dx f ( x )dx g ( x )dx
b

9. Определенный интеграл.

Пример. Вычислить определенный интеграл
Решение. Первообразной для
,
служит
Воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница
Ответ: 31/5

10.

b
f ( x)dx F ( x) F (b) F (a)
b
a
a
Пример:
4
4
4
4 4
2 4
4 4
x
x
x
2 4
1 ( x 2 x)dx 1 x dx 1 2xdx 4 1 2 2 1 4 1 x 1
3
3
256 1
255
4 4 14
2
2
) (16 1)
15 78,75
( ) (4 1 ) (
4
4
4
4 4

11.

10.Вычислить определенный интеграл
11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией y=sin(x)
на отрезке [2 π;3π].
12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями