Арифметическая прогрессия. Какая из последовательностей является арифметической прогрессией?

1.

Арифметическая
прогрессия
progressio — движение вперёд
9 класс
Митрофанова О.Б.
учитель ГБОУ средней школы №143
Санкт-Петербурга

2.

1. Дайте определение
арифметической прогрессии.
а n 1 a n d
Арифметической прогрессией называется числовая
последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему,
сложенному с одним и тем же числом, разностью
арифметической прогрессии d.

3.

З А Д А Н И Е №1.
арифметическая прогрессия-
1.
2.
3.
4.
1; 2; 4; 9; 16…
2; 4; 8; 16…
31; 21; 11; 1…
5; 5; 5; 5…
d = -10
d=0

4.

а n 1 a n d
Арифметической прогрессией называется числовая
последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему,
сложенному с одним и тем же числом, разностью
арифметической прогрессии d.

5.

З А Д А Н И Е №2.
Какая из последовательностей является
арифметической прогрессией?
1.
2.
3.
4.
Последовательность
натуральных степеней
числа 3
Последовательность
кубов натуральных
чисел
Последовательность
натуральных чисел
кратных 3
Последовательность
чисел, обратных
натуральным.
3; 9; 27; 81…
1; 8; 27; 64…
3; 6; 9; 12…
1; 1 ; 1 ; 1 …
2
3
4

6.

З А Д А Н И Е №3.
Какое число не является членом арифметической
прогрессии
6; 12;18;…
1.
2.
3.
4.
60
66
63
72

7.

З А Д А Н И Е №4.
Рабочий выложил плитку следующим образом:
в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток
и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки.
Сколько плиток понадобится для 11 ряда
a n a1 (n 1) d
23
__________________

8.

З А Д А Н И Е №5.
Можно ли найти седьмой член
арифметической прогрессии, если
известны:
1) ап 20
3)
d 2
а6 12 а8 16
а п 1 а п 1
ап
2
2) а1 2 d 2
4) S n
50 d 4
an a1 (n 1) d

9.

Задача очень непроста:
Как сделать, чтобы
быстро
От единицы и до ста
Сложить в уме все числа?
1+2+3+…..+99+100
1777-1855 г.г.

10.

1592 - 1670.

11.

Назовите формулу суммы n первых
членов арифметической прогрессии
a1 a n
Sn
n
2

12.

Sn—сумма n первых членов
арифметической прогрессии
a n a1 (n 1) d
a1 a n
Sn
n
2
2 a1 ( n 1) d
Sn
n
2

13.

Прогрессии в математике
Физике
Экономике
Медицине
Геометрии
….в жизни и в быту
И даже в литературе

14.

Колобок в первую секунду прошел 1,5 м,
а в каждую следующую проходил на
0,2 м больше, чем в предыдущую.
Какой путь прошел колобок за 20 секунд ?

15.

Дано:
(аn)
а1=1,5
d=0,2
Найти:
S20- ?
Решение:
2 a1 ( n 1) d
Sn
n
2
2 1,5 ( 20 1) 0,2
S 20
20
2
(3 19 0,2) 10 68( м )
Ответ: 68 метров.

16.

При свободном падении
тело проходит в 1секунду 4,9 м,
а в каждую следующую секунду
на 9,8м больше, чем в предыдущую.
Сколько времени будет падать тело
с высоты 4410м?
Дано:
Sn=4410;
а1=4,9;
Найти: n-?
d=9,8.

17.

2 a1 ( n 1) d
Sn
n
2
2 4,9 ( n 1) 9,8
n 4410
2
( 9,8+9,8n-9,8 )n= 8820
9,8n2 =8820
n2 =900
n1= -30 ; n2= 30
т.к. n N,
то n=30.
Ответ: тело будет падать 30 секунд.

18.

• Чтобы отправить четыре бандероли,
требуется четыре разные почтовые марки
на общую сумму 120 рублей. Цены
марок составляют арифметическую
прогрессию. Сколько стоит самая
дорогая марка, если она в три раза
дороже самой дешевой?
Ответ: 45 рублей.

19.

Курс воздушных ванн начинают
с 15 мин в первый день и увеличивают
время этой процедуры в каждый
следующий день на 10 мин. Сколько дней
следует принимать ванны в указанном
режиме, чтобы достичь их максимальной
продолжительности 1ч45мин?
Ответ: 10 дней.

20.

Величины углов выпуклого четырехугольника
образуют арифметическую прогрессию с
разностью 42°. Найдите эти углы.
Ответ: 27°, 69°, 111°, 153°.

21.

• В сборнике по подготовке к экзамену-240
задач. Ученик планирует начать их
решение 2 мая, а закончить 16 мая, решая
каждый день на две задачи больше, чем в
предыдущий день. Сколько задач ученик
запланировал решить 12 мая?
Ответ: 22 задачи .

22.

• Студенты должны выложить плиткой 288 кв.м.
Приобретая опыт, студенты каждый
последующий день, начиная со второго,
выкладывали на 2 кв.м больше, чем в
предыдущий. И запасов плитки им хватит
ровно на 11 дней. Планируя, что
производительность труда будет увеличиваться
таким же образом, бригадир определил, что
для завершения работы понадобиться еще 5
дней. Сколько кв.м плитки уложили в первый
день?
Ответ: з кв.м.

23.

Из пункта А выехал грузовой автомобиль
со скоростью 40 км/ч. Одновременно из
пункта В навстречу ему отправился второй
грузовик, который в первый час прошел 20
км, а каждый следующий проходил на 5 км
больше, чем в предыдущий. Через сколько
часов они встретятся, если расстояние от А
до В равно 125 км?

24.

Пусть автомобили встретятся через n часов.
40n км- пройдет первый автомобиль
(2·20+5(n-1))n км - пройдет второй автомобиль.
Составляем уравнение по условию задачи.
(2 20 5(n 1)) n
40n
125
2
80n+(40+5n-5)n=250
80n+35n+5n2-250=0
5n2+115n-250=0
n2+23n-50=0
n1=-25 ; n2=2
т.к. n N,
то n=2.
Ответ: через 2 часа.

25.

«…не мог он ямба от хорея,
как мы не бились, отличить». А.С.Пушкин
• Отличие ямба от хорея состоит в различных
расположениях ударных слогов стиха.
Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных
слогах стиха («Мой дядя самых честных правил…»),
то есть ударными являются 2-й, 4-й, 6-й, 8-й и т. д.
Номера ударных слогов образуют арифметическую
прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной
двум: 2, 4, 6, 8, …
Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных
слогах стиха. («Буря мглою небо кроет…») Номера
ударных слогов также образуют арифметическую
прогрессию, но ее первый член равен единице, а
разность по-прежнему равна двум: 1, 3, 5, 7, … .

26.

Домашнее задание
Два воина.
• Один воин вышел из города
и проходил по 12 верст в
день, а другой вышел с ним
одновременно и шел так: в
первый день прошел 1
версту, во второй день 2
версты, в третий день 3
версты, в четвертый день 4
версты, в пятый 5 верст и
так прибавлял каждый день
по одной версте, пока не
настиг первого. Через
сколько дней второй воин
настигнет первого?
• Индийский царь Шерам призвал
к себе изобретателя шахмат,
ученого Сету, и предложил,
чтобы он сам выбрал себе
награду за создание интересной и
мудрой игры. Царя изумила
скромность просьбы,
услышанной им от изобретателя:
тот попросил выдать ему за
первую клетку шахматной доски
одно пшеничное зерно, за вторую
- два, за третью - еще в два раза
больше и т.д. Сколько зерен
должен получить изобретатель
шахмат?

27.

Итоги урока.
2 a1 ( n 1) d
Sn
n
2
• повторили основные формулы по теме
«арифметическая прогрессия».
• вывели еще одну формулу нахождения суммы
n первых членов арифметической прогрессии.
• показали применение свойств
арифметической прогрессии в различных
науках.