Степенная функция. 11 класс

1. Степенная функция

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №16»
УРОК ПО ТЕМЕ:
Степенная функция
11 класс
Разработка учителя математики
I категории
Илясовой Галины Константиновны
МАЙКОП, 2022 г.

2.

Цели урока: рассмотреть степенную функцию, ее свойства; получить формулы для
вычисления производной и первообразной
Задачи урока:
Развивающие:
• дифференциация в обучении,
• развитие навыка самостоятельного отношения поиска решения,
• привитие любви к математике, расширение кругозора учащихся;
Воспитательные:
• развитие коммуникативных умений,
• повышение мотивации к обучению,
• формирование познавательного интереса,
• создание заинтересованности каждого ученика в работе;
Дидактические:
• развитие знаний, умений, навыков учащихся,
• углубление знаний учащихся,
• развитие творческих способностей.
Оборудование: мультимедийный проектор, доска, мел, учебник

3.

Проверка домашнего задания № 557

4.

Самостоятельная работа.
Вариант 1
•Найти производную функции
•Найти первообразную функции
•Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
Вариант 2
•Найти производную функции
•Найти первообразную функции
•Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

5.

ПОВТОРЕНИЕ.
Нам знакомы функции:
у=х
у = х2
у
Прямая
х
у
у = х3
у
Парабола
1
у
х
х
у
Кубическая
Гипербола
парабола
х
х

6.

у = х,
у=
х2,
у=
х3,
1
у
х
Все эти функции являются частными
случаями степенной функции
у = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число
Свойства и график степенной функции
зависят от значения показателя n

7.

Показатель – четное натуральное число (2n)
у = х2, у = х4 , у = х6, у = х8, …
у
D( y ) : x R
у = х2
Е ( y) : у 0
0
1
х
График четной функции
Область определения
значений
функции
симметричен
относительно
оси–Оу.–
Область
функции
множество
значений,
График
нечетой
функции
значения,
которые
может
которые может
принимать
симметричен
относительно
принимать
переменная
х начала
переменная
у О.
координат
– точки
Функция у=х2n четная,
т.к. (–х)2n = х2n
Функция убывает на
промежутке
( ;0]
Функция возрастает
на промежутке [0; )

8.

y
у = х2
у = х4
у = х6
-1 0 1 2
x

9.

Показатель – нечетное натуральное число (2n-1)
у = х3, у = х5, у = х7, у = х9, …
у
D( y ) : x R
Е ( y) : у R
у = х3
Функция у=х2n-1 нечетная,
т.к. (–х)2n-1 = – х2n-1
0
1
х
Функция возрастает
на промежутке ;

10.

y
у = х3
у = х5
у = х7
-1 0 1 2
x

11.

Показатель р = – (2n-1), где n – натуральное число
у = х-3, у = х-5 , у = х-7, у = х-9, …
у
D( y ) : x 0
Е ( y) : у 0
0
х
1
Функция у=х-(2n-1)
нечетная,
т.к. (–х)–(2n-1) = –х–(2n-1)
Функция убывает на
y х
1
1
y
х
промежутке
( ;0)
Функция убывает
на промежутке
(0; )

12.

y
у = х-1
у = х-3
у = х-5
-1 0 1 2
x

13.

Показатель р = – 2n, где n – натуральное число
у = х-2, у = х-4 , у = х-6, у = х-8, …
у
D( y ) : x 0
Е ( y) : у 0
0
y х
2
1
1
y 2
х
х
Функция у=х2n четная,
т.к. (–х)-2n = х-2n
Функция возрастает на
промежутке
( ;0)
Функция убывает
на промежутке
(0; )

14.

y
у = х-2
у = х-4
у = х-6
-1 0 1 2
x

15.

y
у = х-4
-1 0 1 2
у = (х – 2)-4
x

16.

y
у = х-4
-1 0 1 2
у = х– 4 – 3
x

17.

y
у = х-4
у = (х+1)– 4 – 3
-1 0 1 2
x

18.

y
у = (х-2)– 3– 1
у = х-3
-1 0 1 2
x

19.

Изучение нового материала.
Функция, заданная
формулой
называется степенной
( с показателем ).

20.

Если
, то степенная
функция определена и при
,
поскольку
.
При целых формулой
степенная функция определена и
для
При четных эта функция чётная, а при
нечетных - нечетная.
Поэтому исследование степенной функции
достаточно провести только на
промежутке (0; ).

21.

Вы знаете формулы для
производной функции
лишь
при целых показателях степени,
а также при
.
Теперь нам остается вывести формулу
при произвольном .
Докажем, что для любого из
области определения производная
степенной функции находится так:

22.

Действительно, так как
,
то
Отсюда по правилу вычисления
производной сложной функции получаем:

23.

При
степенная функция
убывает на промежутке
,
поскольку
при
У
1
0
1
Х

24.

При
имеем
,
поэтому степенная функция
возрастает при
.
Кроме того, надо учесть,
что при
степенная функция равна 0 и
при
и
Поэтому точка 0 присоединяется к
промежутку возрастания, т.е. при
степенная функция возрастает на
промежутке [0; ).

25.

У
У
1
1
0
1
Х
0
1
Х

26.

Иначе дело обстоит
с первообразной степенной функции.
При
общий вид первообразных
степенной функции
таков:
При
первообразной функции
является функция

27. Практическое применение теории.

Пример 1
• Найдем производную функции
• Используем правило дифференцирования сложной функции и формулу
производной степенной функции. Получаем
Пример 2
• Найдем первообразную функции
• Применяя правило интегрирования сложной функции и формулу
первообразной степенной функции, имеем

28.

Решение упражнений
Учебник №558(а), 559(а), 560(г), 564(г), 565(в)
Контрольные вопросы
1. Дайте определение степенной функции.
2. Напишите формулу для производной степенной функции.
3. Приведите примеры графиков степенной функции.
4. Напишите формулу для первообразной степенной функции.
Домашнее задание
№558(в), 55(в), 560(а,б), 564(а), 565(а,в)
Подведение итогов урока. Рефлексия.