Показательные уравнения и неравенства

1.

Тема:
«Показательные
уравнения
и неравенства».

2.

«Развитие и образование ни одному
человеку не могут быть даны или
сообщены. Всякий, кто желает к ним
приобщиться, должен достигнуть
этого собственной деятельностью,
собственными силами, собственным
напряжением».
А. Дистервег

3. 1. Какая функция называется показательной?

y a , где a 0, a 1
x

4. 2. Какие из перечисленных ниже функций являются показательными?

1
у 2
х
2
у х
2
3
у
3
4
да 5
у 2 3
х
нет
6
у х
1
да 7
у
х
да
х
да
нет
х
у 5х
нет
8
у 10
нет

5. Какое уравнение называется показательным?

a
f ( x)
a
g ( x)
, где a 0,a 1
6.
Какие основные методы
решения
показательных
уравнений существуют?

6.

Вынесение
общего
множителя за
скобки
Метод
использования
однородности
Методы
решения
ПУ
Метод
уравнивания
показателей
Метод
введения
новой
переменной

7. Метод уравнивания показателей

1)5 5 , х 3
1)5 125
х
2) 2
3)3
3 х 6
2
х 1
3
х
8
4)8
5 х 8
5)11
х
3
3 х 6
1
2 ,3 х 6 1, х 2
3
2)2
1
3) Корней нет
х
4)8 81 , х 1, х 1
11
0
5)115 х 8 110 ,5 х 8 0, х 1,6

8. Вынесение общего множителя за скобки

x 2
3 72
x
2
3
x
3 (3 1) 72;
72
3 ;
8
x
3x 9;
3x 32;
x 2
Ответ: 2

9. Метод введения новой переменной

2
x
1
x
4 5 4 4 0
1
x 2
1
x
(4 ) 5 4 4 0;
Пусть
1
x
4 t, t 0.
t 2 5t 4 0;
D 25 16 9;
t1 4, t2 1.
ОДЗ : x≠0
Вернемся кк
Вернемся
замене:
замене:
1
x1
1
4
4
x
1
1
x
4 1
0
x
x 1
решений _ нет
Ответ: 1

10.

Решение:
4 x 2 x 1 3,
4 x 2 2 x 3 0,
Сделаем
Уравнение примет
1 замену переменных. Пусть
вид
у 2 2 y 3 0.
-3; 1
Полученное уравнение имеет корни
2 x 3,
x
2
11 x 0 .
Сделаем обратную замену: x
2 1
1
Ответ: 1

11.

Метод
введения новой переменной
9
x 2 1
36 3
2( x 2 1)
3
x 2 3
9 4 3
3 0
x 2 3
3 0;
Вернемся к
замене:
3x 1 3 x 2 1 1
2
2
x 1
3
1
x 1 0
2
Пусть
x 2 1
3
t, t 0.
t 2 4t 3 0;
t1 3, t2 1.
x 0
x 0
x1 1
2
x 1 x 1
2
2
Ответ: 0,1,-1

12. Использование однородности

64 9 x 84 12 x 27 16 x 0
64 32 x 84 3x 4 x 27 4 2 x 0
Разделив обе части
уравнения на
42 x ,
получим:
Вернемся к
замене:
3
3
64 ( )2 x 84 ( )x 27 0
4
4
3 x 3
( 4 ) 4
( 3 )x 9
4
16
Пусть
3
( )x t, t 0.
4
64t 84t 27 0;
x 1
x 2
3
9
, t2 .
4
16
Ответ: 1 или 2
2
t1

13. Укажите методы решения показательных уравнений.

1.
4.
2.
5.
3.
6.
Метод
уравнивания
показателей.
Функционально –
графический метод.
2, 6
1, 5
Метод введения
новой переменной.
3, 4

14. Какое неравенство называется показательным?

Какое неравенство
показательным?
a
f ( x)
a
g ( x)
называется
, где a 0,a 1

15. Что нужно учесть при решении показательных неравенств ?

Решить неравенство 2x 1
2 x 20
x 0.
?
Что нужно учесть при решении простейших
показательных неравенств ?
1. Привести основания степени к одинаковому основанию
2. Использовать свойства монотонной функции

16. Решите неравенства

x
8 x 3
8 x 3
3x 81
x R
x
3 x 34
4
2
9
3
x
2
2
2
3 3
x 2
x 4
Ответ:
x
Ответ: Х-любое
x ;4
Ответ:
; 4
4
x
x
2
x 2;
Ответ: 2;

17. Решите неравенство

1
25 x 3
5
5
2 x 3
5
3 x 1
1 3 x 1
5 2 x 6 5 3 x 1
2x 6 3x 1
2x 3x 1 6
x 5
-5
x 5;
x
Ответ:
5;

18. Решите неравенство

1
x 5 x
7
7
x 2 5 x
7
7 6
6
2
x 2 5 x 6
x2 5x 6 0
( x 2) ( x 3) 0
+
2 x 3
2
x 2;3
_
2
3
+
3
x
Ответ:
2;3

19.

Решите неравенство
0,36
7 x 1
2 x
1
7 x 1
2 x
0,36
0,360
7x 1
0
2 x
7 x 1 2 x 0
7 x 1 x 2 0
1
x 2
7
1
7
2
x
1
Ответ: ; 2
7

20.

Решите уравнения и неравенства.
1) 2 2
x
3
x
1
1
2)
3 3
1
5)
6
x
36
3) 10
4
4)2
х 3
x 3
1000
2 28
х