Системы с ожиданием

1.

Системы с ожиданием

2.

Системы с ожиданием
1. Случайная длительность обслуживания.
Постановка задачи
Коммутационная схема – однозвенная, во входы
которой включен буфер не ограниченной ёмкости,
а в выходы – полнодоступный пучок из υ линий.
.

3.

Постановка задачи

4.

Постановка задачи
Дисциплина обслуживания. Если в момент
поступления вызова есть свободные линии, то
вызов занимает одну из них. При отсутствии
свободных линий вызов становится в очередь.
Число мест в очереди не ограничено. Вызовы из
очереди обслуживаются в порядке их поступления
(FIFO – First In, First Out).
Требуется найти вероятности различных
состояний системы и показатели качества
обслуживания вызовов.

5.

Диаграмма состояний и переходов
В обозначениях Дж. Кендалла эта модель
записывается следующим образом:
где r – число мест для ожидания.

6.

Диаграмма состояний и переходов

7.

Процесс рождения и гибели
Для
процесса
рождения
и
гибели
в
стационарном режиме вероятность нахождения
системы в состоянии i записывалась следующим
образом:
(1)
Определим λi и µi для рассматриваемого процесса.
Так как поток вызовов простейший, то
параметр потока не зависит от состояния системы

8.

Процесс рождения и гибели
Параметр потока освобождений
Параметр потока освобождений в состояниях,
начиная с xv+1, занято v линий
Подставим значения λ и µi в (1), получим:

9.

Вероятность состояния системы

10.

Вероятность состояния системы (2)

11.

Преобразуем
образом: обозначим
следующим
.
Рассмотрим случай конечной очереди.
.. Отсюда
Сумма в круглых скобках – бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия.

12.

13.

14.

Второе распределение Эрланга
Разделим числитель и знаменатель в (2) на
(3)

15.

Вероятность ожидания

16.

Зависимости
от А при V=const

17.

18.

Распределение вероятностей времени
ожидания

19.

Среднее время ожидания

20.

Среднее время ожидания (2)

21.

Вероятность очереди

22.

Вероятность очереди (2)

23.

Средняя длина очереди

24.

Системы с ожиданием и с потерями

25.

Потери в комбинированных системах
Зависимости величины потерь от числа мест для
ожидания
при
фиксированном
значении
интенсивности поступающей нагрузки A = 20 Эрл

26.

Эффективность комбинированных систем
При r = 0, т.е. в системе с явными потерями, для
уменьшения потерь с 5% до 1% число каналов в
пучке необходимо увеличить с 25 до 30. Этот же
эффект по снижению потерь в комбинированной
системе может быть получен, если к пучку из 25
каналов добавить семь мест для ожидания. Последнее
решение может быть экономически эффективнее, так
как комплект ожидания, как правило, значительно
дешевле канала, например, в системах космической
связи.

27.

Постоянная длительностью обслуживания

28.

Кривые Кроммелина при v=1

29.

Кривые Кроммелина при v=1 (2)

30.

Однолинейная система с ожиданием

31.

Однолинейная система с ожиданием

32.

Однолинейная система с ожиданием (2)

33.

Однолинейная система с ожиданием (3)

34.

Однолинейная система с ожиданием (4)

35.

Однолинейная система с ожиданием (5)
(4)

36.

Однолинейная система с ожиданием (6)

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

Неполнодоступные включения

44.

Характеристики НПД включений
Неполнодоступным (НПД) называется такое
включение рассматриваемых линий пучка, при
котором каждому входу коммутационной системы
доступно только часть линий пучка.
1
i
i+1
N
1
5
2
6
3
7
4
8
9
D=6
V=10

45.

Характеристики НПД включений (2)
На приведенной выше схеме пучок из 10 линий
– неполнодоступный. Входам с 1 по i доступны линии
с номерами 1, 2, 3, 4, 9, 10 , а входам с i+1 по N
доступны линии с номерами 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Необходимость образования НПД включений
вызвана конструктивными ограничениями приборов
и стремлением повысить использование линий в
пучке.
Доступностью D неполнодоступного пучка
линий называется число линий, доступных каждому
входу коммутационной схемы.

46.

Характеристики НПД включений (3)

47.

Характеристики НПД включений (4)

48.

Характеристики НПД включений (5)
Матрица связности – число общих линий между
каждой парой нагрузочных групп.
1
3
2
g=4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
1
Х
4
2
2
2
4
Х
2
2
3
2
2
Х
4
4
2
2
4
Х
13
14
Схемы с равномерной матрицей связности имеют
меньшую чувствительность к колебаниям нагрузки
по нагрузочным группам.

49.

Ступенчатые НПД включения
Ступенчатым называется такое НПД включение, при
котором число нагрузочных групп, обслуживаемых одной
линией пучка, увеличивается с увеличением номера шага
искания.

50.

Ступенчатые НПД включения (2)

51.

Равномерные НПД включения
Равномерным называется такое НПД включение, при
котором число нагрузочных групп, обслуживаемых
одной линией, одинаково или отличается на единицу
не зависимо от номера шага искания.
Выбор структуры равномерных неполнодоступных схем
производится исходя из следующих трех правил:
1. Каждая линия должна быть доступна одинаковому числу
нагрузочных групп.
2. Каждая группа должна иметь одинаковое число общих
линий с каждой другой нагрузочной группой.
3. Каждая линия объединяет выходы, принадлежащие к
соседним шагам искания.

52.

Пример равномерной НПД схемы

53.

Пример равномерной НПД схемы
Пример 2. Дано: g=4; v=10; D=5; γ=
g