05 Пространство Rm. Основные понятия. 2024 0

1.

m-мерное евклидово пространство E m
m - мерное координатное пространство
–
множество всевозможных упорядоченных совокупностей x1 , x2 ,..., xm чисел.
m
E – m - мерное евклидово пространство с расстоянием A, B
m
m
a b
i
i 1
Пространство
m
с расстоянием, введенным по формуле A, B
m
a b обозначают E
2
i
i 1
или
m
. Если расстояние определяется иначе, то обозначение
m
2
i
m
i
недопустимо.
Пусть x 0 E m . Тогда
1) B x 0 , r = x x , x 0 r – открытый шар ( m 2 – открытый круг) радиуса r с центром в т. x 0
2) x x , x r – сфера ( m 2 – окружность) радиуса r с центром в т. x ;
3) x x , x r – шар ( m 2 – круг) радиуса r с центром в т. x .
0
0
0
0
*
x , x , , x x a d , x a d ,..., x a d – m -мерный параллелепипед
x , x , , x x a d , x a d ,..., x a d – m -мерный открытый параллелепипед
B x , – -окрестность точки x
1
2
m
1
1
1
2
2
2
m
m
m
1
2
m
1
1
1
2
2
2
m
m
m
0
0
x , x , , x x x , x x ,..., x x – прямоугольная -окрестность точки x
1
2
m
1
0
1
2
0
2
m
0
m
0
Теорема. Любая -окрестность точки x 0 E m содержит некоторую прямоугольную окрестность
этой точки, и наоборот, любая прямоугольная окрестность точки x 0 E m содержит некоторую
1
-окрестность этой точки.

2.

Точка x 0 E m называется предельной точкой множества X E m , если любая
окрестность этой точки содержит бесконечное множество точек из X или, что то же
самое, в любой окрестности т. x 0 существует, по крайней мере, одна точка множества X ,
не совпадающая с x 0 , т.е. 0 x X , x x 0 x B x 0 , .
!!! Предельная точка может как принадлежать, так и не принадлежать X .
Символ называют предельной точкой (предельным значением) множества X , если
C x X O, x C , где O – точка, все координаты которой равны нулю.
Точка x 0 X , не являющаяся предельной, называется изолированной точкой
множества X , т.е. 0 x X x x 0 x B x 0 , .
Точка x 0 E m называется:
– внутренней точкой множества X , если 0 x E m x , x 0 x X ;
0 x E x , x x X ;
m
0
– внешней точкой множества X , если
– граничной точкой множества X , если
0 x1 X x1 , x 0 x 2 X x 2 , x 0 .
Множество всех граничных точек множества X называется границей множества X .
! ! ! Всякая внутренняя точка является предельной.
! ! ! Всякая изолированная точка является граничной.
! ! ! Множества внутренних, внешних и граничных точек не пересекаются.
! ! ! Множества предельных и изолированных точек не пересекаются.
3

3.

d M max A, B – диаметр множества M .
A, B M
Множество M называют ограниченным, если d M .
Лемма. Множество является ограниченным тогда и только тогда, когда оно
содержится целиком в некотором шаре.
Точка x 0 E m называется точкой прикосновения множества M E m , если любая
ее окрестность содержит хотя бы одну точку из M . Всякая точка прикосновения есть
либо предельная, либо изолированная точка множества M . Совокупность всех точек
прикосновения множества M называют замыканием множества M и обозначают M .
В евклидовом пространстве E m определены следующие операции над множествами.
Унарные:
E m \ M – дополнение множества M ;
M – множество всех предельных точек множества M ;
M – замыкание множества M ;
int M – множество всех внутренних точек множества M ;
M – множество всех граничных точек множества M (граница множества M );
Бинарные:
M1 M 2 , M1 M 2 , M1 \ M 2 , M1 M 2 .
Лемма. Для произвольного множества M справедливо равенство
M M M M M .
Следствие: Если M замкнутое множество, то M M .
4

4.

A
1, 2 3, 4
5,6
7,8
A
A
int A
A
Внешние точки
Дополнение
Изолированные
точки
5

5.

A
x, y x y 1
2
2
x, y x y 1
2
2
x, y x y 1
2
2
A
A
int A
A
Внешние точки
Дополнение
Изолированные
точки
7

6.

Множество
L x1 , x2 ,
, xm x1 1 t , x2 2 t ,..., xm m t , t ,
где 1 t , 2 t ,..., m t – непрерывные на , функции, называется непрерывной кривой в пространстве E m , а точки
A 1 , 2 ,
, m и B 1 , 2 ,
, m
называются концами кривой L . Если точки A и B совпадают,
то кривая L называется непрерывной замкнутой кривой.
9

7.

Множества A и B называются отделимыми, если ни одно из них не содержит точек замыкания другого (т.е. A B и A B ).
Множество называется связным, если его нельзя представить в виде объединения двух отделимых множеств.
Если любые две точки множества можно соединить непрерывной кривой,
целиком принадлежащей множеству, то оно называется линейно-связным.
Множество, состоящее из одной точки также считают линейно-связным.
Открытое линейно-связное множество называют областью, а объединение
области и ее границы – замкнутой областью.
Плоская область называется односвязной, если вместе с любой замкнутой
непрерывной кривой, принадлежащей области, и часть плоскости, ограниченная
этой кривой, принадлежит области.
Область G называется выпуклой, если для любых точек M1 и M 2 этой области
отрезок прямой, соединяющий точки M1 и M 2 , целиком принадлежит области G .
10

8.

Последовательности
Посл-ть An точек пространства E m называется:
Каждому n поставлена
в соответствие точка An E m .
0 n0 n n0 An , A ;
– сходящейся к точке A E m , если
– сходящейся к бесконечности (или ББП), если
0 n0 n n0 An , O .
Обозначение: lim An S или An S при n , где S E m
n
.
З а м е ч а н и е . Если lim An 0 , то An – БМП.
n
Теорема о характере сходимости в E m . Посл-ть An , An E m сходится к A a1 , a2 ,
, am
тогда и только тогда, когда посл-ти x1n , x2n , …, xmn координат точек An сходятся к соответствующим координатам a1 , a2 ,
, am точки A .
Критерий Коши сходимости посл-ти. Для того чтобы посл-ть An , An E m была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной, т.е.
0 n0 n n0 k An k , An .
Последовательность An , An E m
– ограниченна, если c 0 n O, An c ;
– неограничена, если c
n O, An c .
Лемма. Посл-ть An является ограниченной тогда и только тогда, когда все точки An этой
посл-ти принадлежат некоторому шару.
Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной посл-ти An , An E m можно
выделить сходящуюся подпосл-ть.
11